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A closed-Form Upper Bound on the Concrete Breakout Resistance of Anchor Groups in Rectangular Pedestals Under the EN 1992-4 Narrow-Member Rule

यह शोध पत्र EN 1992-4 के अंतर्गत आयताकार पेडस्टलों में हेडेड बोल्ट्स के समूहों के लिए कंक्रीट ब्रेकआउट प्रतिरोध पर एक क्लोज्ड-फॉर्म ऊपरी सीमा व्युत्पन्न करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि यह प्रतिरोध एम्बेडमेंट गहराई के बजाय पेडस्टल के प्लान आयामों द्वारा सीमित होता है, और डिजाइन चार्ट एवं ACI 318 के साथ तुलना प्रदान करता है ताकि यह दिखाया जा सके कि व्यावहारिक अनुप्रयोगों में कंक्रीट ब्रेकआउट आमतौर पर स्टील की मजबूती पर हावी रहता है।

मूल लेखक: Eghosasere Oluwaseyi Rowland-Lato

प्रकाशित 2026-10-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Eghosasere Oluwaseyi Rowland-Lato

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एक भारी मशीनरी, एक ऊंचे टॉवर या एक कंक्रीट ब्लॉक पर खड़े भवन के स्तंभ की कल्पना करें। इसे तेज हवाओं से पलटने या खिंच जाने से बचाने के लिए, इंजीनियर इन चीजों को उस ब्लॉक में मोटे धातु के रॉड्स का उपयोग करके कस देते हैं। ये रॉड्स कंक्रीट के भीतर गहराई तक धंसे होते हैं। दशकों से, इंजीनियरों ने उन नियमों के एक समूह पर भरोसा किया है जिससे यह गणना की जा सके कि ये बोल्ट कितना वजन सहन कर सकते हैं, इससे पहले कि उनके आसपास का कंक्रीट टूट जाए और बिखर जाए। ये नियम मानते हैं कि यदि आप कंक्रीट के ब्लॉक को गहरा बनाते हैं, तो बोल्ट अधिक वजन सहन कर सकते हैं। यह तर्कसंगत लगता है: अधिक कंक्रीट का अर्थ है अधिक मजबूत पकड़। हालांकि, कम चौड़ाई वाले ब्लॉकों के लिए इन नियमों में एक छिपा हुआ पेंच है। यदि ब्लॉक संकीर्ण है, तो कंक्रीट केवल एक निश्चित मात्रा में ही वजन सह सकता है, चाहे आप बोल्टों को कितनी भी गहराई तक क्यों न गाड़ दें। एक बार जब बोल्ट एक निश्चित गहराई तक पहुँच जाते हैं, तो ताकत बढ़ना बंद हो जाती है। यह एक सीमा (सीलिंग) पर पहुँच जाता है।

यह शोध पत्र ठीक उसी बिंदु की जांच करता है कि वह सीमा कहाँ है और संरचनाओं की सुरक्षा के लिए इसके क्या मायने हैं। पोर्ट हारकोर्ट विश्वविद्यालय के एक इंजीनियर लेखक ने इन कनेक्शनों को डिजाइन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले यूरोपीय गणितीय नियमों का अध्ययन किया। उन्होंने एक सरल लेकिन महत्वपूर्ण प्रश्न पूछा: एक दिए गए आकार के कंक्रीट ब्लॉक के लिए, अधिकतम कितना वजन वह सहन कर सकता है इससे पहले कि कंक्रीट टूट जाए, चाहे कितने भी बोल्ट उपयोग किए जाएं या वे कितने भी मजबूत क्यों न हों? यह अध्ययन आयताकार ब्लॉकों पर केंद्रित है, जो निर्माण में आम हैं, और बोल्टों के सममित रूप से व्यवस्थित समूहों की जांच करता है। लक्ष्य कंक्रीट की मजबूती की सैद्धांतिक सीमा को खोजना था, एक ऐसी सीमा जिसे केवल अधिक स्टील जोड़कर या बोल्टों को लंबा करके पार नहीं किया जा सकता।

अनुसंधान इन कनेक्शनों के विफल होने के तरीके के बारे में एक आश्चर्यजनक सत्य प्रकट करता है। एक कंक्रीट ब्लॉक द्वारा समर्थित अधिकतम वजन पूरी तरह से ब्लॉक के आकार और कंक्रीट की मजबूती द्वारा निर्धारित होता है, न कि बोल्टों द्वारा। एक बार जब बोल्टों को एक विशिष्ट, इष्टतम पैटर्न में व्यवस्थित कर दिया जाता है, तो अधिक बोल्ट जोड़ने या अधिक मजबूत स्टील का उपयोग करने से कंकर्ट की भार वहन क्षमता नहीं बढ़ती है। कंक्रीट पहले टूटेगा, और यह उसी वजन पर टूटेगा चाहे वहां दो बोल्ट हों या बीस। अध्ययन ने पाया कि इस अधिकतम मजबूती तक पहुँचने के लिए बोल्टों को व्यवस्थित करने का सबसे अच्छा तरीका बाहरी बोल्टों को किनारों से एक विशिष्ट दूरी पर रखना है, जिससे उन्हें ब्लॉक के किनारों से टकराए बिना यथासंभव विस्तृत क्षेत्र को कवर करने के लिए फैलाया जा सके। यदि ब्लॉक एक वर्ग (स्क्वायर) है, तो यह व्यवस्था सीधी है। यदि ब्लॉक एक आयत (रेक्टेंगल) है, तो इष्टतम अंतराल इस बात पर थोड़ा निर्भर करता है कि वह कितना लंबा और संकीर्ण है, लेकिन सिद्धांत वही रहता है: कंक्रीट की क्षमता उसकी ज्यामिति (जियोमेट्री) द्वारा निर्धारित होती है।

लेखक ने इस अधिकतम सीमा की गणना 'न्यूमेरिकल ऑप्टिमाइजेशन' नामक एक विधि का उपयोग करके की, जो संख्यात्मक अनुकूलन जैसा है, जैसे कि हर संभव बोल्ट व्यवस्था का परीक्षण करने के लिए हजारों कंप्यूटर सिमुलेशन चलाना। परिणामों ने इस ऊपरी सीमा के लिए एक सटीक गणितीय सूत्र की पुष्टि की। एक वर्गाकार ब्लॉक के लिए, सबसे मजबूत व्यवस्था तब होती है जब बाहरी बोल्ट भुजा की लंबाई के चौथाई बिंदुओं (क्वार्टर पॉइंट्स) पर रखे जाते हैं। एक आयताकार ब्लॉक के लिए, यदि ब्लॉक बहुत संकीर्ण है तो सीमा थोड़ी कम होती है, लेकिन यह एक अनुमानित पैटर्न का पालन करती है। अध्ययन ने यूरोपीय नियमों की तुलना अमेरिका में उपयोग किए जाने वाले समान नियमों से भी की। इसने पाया कि अमेरिकी नियम थोड़ा अधिक वजन सीमा की अनुमति देते हैं, लगभग अठारह प्रतिशत अधिक, लेकिन केवल उन ब्लॉकों के लिए जो बहुत गहरे नहीं हैं। गहरे ब्लॉकों के लिए, यह अंतर बढ़ता जाता है।

शायद सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष संरचना की सुरक्षा से संबंधित है। इंजीनियर अक्सर एक ऐसा डिजाइन पसंद करते हैं जहाँ धातु के बोल्ट कंक्रीट के टूटने से पहले खिंचते और मुड़ते हैं। इसे 'डक्टाइल फेलियर' (लचीली विफलता) कहा जाता है, और यह ढहने से पहले लोगों को चेतावनी का संकेत देता है। यदि कंक्रीट अचानक टूट जाता है, तो यह 'ब्रिटल फेलियर' (भंगुर विफलता) है, जो खतरनाक है। शोध पत्र दिखाता है कि कंक्रीट को इतना वजन संभालने के लिए कि बोल्ट पहले मुड़ सकें, ब्लॉक को विशाल होना चाहिए। निर्माण में उपयोग किए जाने वाले चार बोल्टों के एक विशिष्ट सेट के लिए, सुरक्षित रूप से मुड़ने के लिए ब्लॉक लगभग दो मीटर चौड़ा होना चाहिए। अधिकांश वास्तविक दुनिया के ब्लॉक बहुत छोटे होते हैं, अक्सर एक मीटर से कम चौड़े। इसका मतलब है कि लगभग हर व्यावहारिक स्थिति में, बोल्टों के मुड़ने से पहले कंक्रीट टूट जाएगा। इन छोटे ब्लॉकों में सुरक्षित, मुड़ने वाली विफलता मोड प्राप्त करने का एकमात्र तरीका कंक्रीट के अंदर अतिरिक्त स्टील सुदृढीकरण (रीइन्फोर्समेंट) जोड़ना है, जिसे विशेष रूप से उस भार को संभालने के लिए डिज़ाइन किया गया हो यदि बोल्ट खिंचने लगें।

अध्ययन डिजाइनरों के लिए एक व्यावहारिक उपकरण भी प्रदान करता है। यह एक चार्ट प्रदान करता है जो इंजीनियरों को बताता है कि केवल कंक्रीट की मजबूती का उपयोग करके एक विशिष्ट वजन को संभालने के लिए उनके कंक्रीट ब्लॉक को कितना बड़ा होना चाहिए। यदि ब्लॉक चार्ट के सुझाव से छोटा है, तो इंजीनियर तुरंत जान जाता है कि उन्हें सुदृढीकरण जोड़ना ही होगा, चाहे बोल्ट कितने भी मजबूत क्यों न हों। यह डिजाइन के शुरुआती चरणों से अनिश्चितता को दूर करता है। अनुसंधान पुष्टि करता है कि हालांकि आप बोल्टों को मजबूत बना सकते हैं, लेकिन आप कंक्रीट को उसकी ज्यामितीय सीमा से अधिक मजबूत नहीं बना सकते। कंक्रीट की एक अधिकतम क्षमता होती है, और एक बार जब आप उस पर पहुँच जाते हैं, तो ऊपर जाने का एकमात्र तरीका ब्लॉक को बड़ा बनाना या उसे स्टील से सुदृढ़ करना है। यह अंतर्दृष्टि इंजीनियरों को उनके द्वारा उपयोग की जाने वाली सामग्रियों की वास्तविक सीमाओं को समझकर सुरक्षित और अधिक कुशल संरचनाओं को डिजाइन करने में मदद करती है।

तकनीकी सारांश: कंक्रीट ब्रेकआउट प्रतिरोध पर एक क्लोज्ड-फॉर्म अपर बाउंड (ऊपरी सीमा)

समस्या विवरण
स्ट्रक्चरल इंजीनियरिंग में, कॉलम बेस, टावर स्टैंचियन और उपकरण सपोर्ट से आने वाले टेंशन लोड को अक्सर कास्ट-इन हेडेड बोल्ट्स के माध्यम से कंक्रीट पेडस्टल में एंकर किया जाता है। इन पेडस्टल्स के प्लान आयाम (dimensions) अक्सर बेस प्लेट से थोड़े ही बड़े होते हैं (आमतौर पर 500-1000 मिमी)। यूरोकोड 2 (EN 1992-4) और ACI 318-19 डिजाइन फ्रेमवर्क के तहत, ऐसे सदस्यों को "नैरो मेंबर्स" (संकीर्ण सदस्यों) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। इन मामलों में, प्रभावी एम्बेडेमेंट डेप्थ ( $h_{ef}$ ) को नैरो-मेंबर नियम द्वारा सीमित किया जाता है, जो वास्तविक बोल्ट लंबाई के बजाय सबसे बड़े एज डिस्टेंस और बोल्ट स्पेसिंग के आधार पर $h_{ef}$ को सीमित करता है।

यह नियम एक "डिजाइन प्लेटो" (डिज़ाइन स्थिरता) बनाता है: एक बार जब एम्बेडेमेंट नैरो-मेंबर बाधा को ट्रिगर करने के लिए पर्याप्त हो जाता है, तो बोल्ट की लंबाई, व्यास या ग्रेड बढ़ाने से कंक्रीट ब्रेकआउट रेजिस्टेंस में कोई अतिरिक्त वृद्धि नहीं होती है। हालांकि यह प्लेटो कोड समीकरणों में अंतर्निहित है, लेकिन साहित्य में एक क्लोज्ड-फॉर्म एक्सप्रेशन की कमी थी जो किसी दिए गए पेडस्टल के लिए प्राप्त की जा सकने वाली पूर्ण अधिकतम प्रतिरोध को परिभाषित कर सके, चाहे बोल्ट का लेआउट कुछ भी हो। फलस्वरूप, डिजाइनर यह निर्धारित नहीं कर सकते थे कि बिना एंकर सुदृढीकरण (reinforcement) के एक विशिष्ट पेडस्टल द्वारा वह सैद्धांतिक ऊपरी सीमा क्या है, जिसे वह टेंशन झेल सकता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र आयताकार पेडस्टल्स में सिमेट्रिक एंकर समूहों के लिए डिज़ाइन कंक्रीट ब्रेकआउट रेजिस्टेंस ( $N_{Rd,c}$ ) के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म अपर बाउंड व्युत्पन्न करता है, जिसमें भुजाएँ $a \le b$ हैं। विश्लेषण निम्नलिखित धारणाओं और चरणों पर आधारित है:

मॉडल फॉर्मूलेशन: अध्ययन EN 1992-4 में लागू कंक्रीट कैपेसिटी डिज़ाइन (CCD) विधि का उपयोग करता है। यह कॉन्सेंट्रिक टेंशन लोडिंग, डबल सिमेट्री वाले समूहों और थिकनेस-कंट्रोल्ड फेलियर को रोकने के लिए पर्याप्त सदस्य गहराई को मानता है।
ऑप्टिमाइजेशन (अनुकूलन): व्युत्पत्ति बाहरी एंकर स्पेसिंग ( $g_x$ और $g_y$ ) के सभी संभावित मानों पर रेजिस्टेंस समीकरण को मैक्सिमाइज करती है। नैरो-मेंबर नियम प्रभावी एम्बेडेमेंट को $h'_{ef} = \max(c_{max}/1.5, s_{max}/3)$ के रूप में परिभाषित करता है, जहाँ $s_{max}$ को सबसे बाहरी एंकरों की स्पेसिंग माना गया है।
एनालिटिकल डेरिवेशन: लेखक अनुकूलित स्पेसिंग के लिए समाधान निकालते हैं जो प्रोजेक्टेड एरिया और एज फैक्टर्स को अधिकतम करते हुए $h'_{ef}$ को न्यूनतम करता है। यह वर्गाकार ( $a=b$ ) और आयताकार ( $a<b$ ) ज्यामिति दोनों के लिए किया गया है।
सत्यापन (Verification): व्युत्पन्न क्लोज्ड-फॉर्म समाधानों को निम्नलिखित माध्यमों से सत्यापित किया गया है:
- न्यूमेरिकल ऑप्टिमाइजेशन: 1x1 से 4x4 तक के समूहों के लिए ग्रिड सर्च (70x70) के बाद नेल्डर-मीड (Nelder-Mead) रिफाइनमेंट।
- सिंबोलिक अल्जेब्रा: कंप्यूटर अलजेब्रा सिस्टम ने डेरिवेटिव और सरलीकरण की पुष्टि की।
- तुलना: परिणामों की तुलना ACI 318-19 प्रावधानों और मौजूदा टेस्ट डेटा रेंज से की गई है।

मुख्य योगदान और परिणाम
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि कंक्रीट ब्रेकआउट रेजिस्टेंस की एक "सीलिंग" (छत) होती है जो केवल पेडस्टल की ज्यामिति और कंक्रीट की स्ट्रेंथ द्वारा निर्धारित होती है, जो बोल्ट की संख्या, व्यास या ग्रेड से स्वतंत्र होती है।

क्लोज्ड-फॉर्म अपर बाउंड: एक आयताकार पेडस्टल के लिए जिसकी भुजाएँ $a \le b$ और आस्पेक्ट रेशियो $r = a/b$ है, अधिकतम रेजिस्टेंस है:
$N_{Rd,c,max} = \frac{\sqrt{6}}{9} \frac{k_1 \sqrt{f_{ck}} a \sqrt{b} \psi(r)}{\gamma_{Mc}}$
जहाँ $\psi(r) = 1$ यदि $r \ge 0.5$ , और $\psi(r) = 0.7 + 0.6r$ यदि $r < 0.5$ ।
एक एकल केंद्रीय एंकर के लिए, यह बाउंड कम है: $N_{Rd,c,max}^{(1)} = \frac{k_1 \sqrt{f_{ck}} b^{1.5} r(0.7 + 0.3r)}{31.5 \gamma_{Mc}}$ ।
ऑप्टिमल लेआउट: अधिकतम रेजिस्टेंस तब प्राप्त होता है जब लंबी भुजा के साथ बाहरी एंकरों के बीच की दूरी $b/2$ होती है। वर्गाकार पेडस्टल्स के लिए, इसका अर्थ है बाहरी एंकरों को क्वार्टर पॉइंट्स ( $g = a/2$ ) पर रखना। कोई भी सिमेट्रिक ग्रुप (2x2, 3x3, आदि) जो इन स्थितियों में बाहरी एंकर रखता है, वही अधिकतम रेजिस्टेंस प्राप्त करता है; अधिक आंतरिक एंकर जोड़ने से यह सीलिंग नहीं बढ़ती है।
ज्यामितीय दक्षता (Geometric Efficiency): एक निश्चित प्लान एरिया के लिए, एक वर्गाकार पेडस्टल उच्चतम रेजिस्टेंस प्रदान करता है। पेडस्टल को लंबा करने से सीलिंग आनुपातिक रूप से $r^{0.25}$ कम हो जाती है।
ACI 318-19 तुलना: ACI 318-19 का समकक्ष भी समान स्ट्रक्चरल फॉर्म का पालन करता है। उन इष्टतम समूहों के लिए जहाँ सीमित एम्बेडेमेंट 280 मिमी से कम है, ACI सीलिंग EN 1992-4 के मान से लगभग 1.18 गुना अधिक है।
डक्टिलिटी (तन्यता) निहितार्थ: अध्ययन यह गणना करता है कि कंक्रीट ब्रेकआउट सीलिंग को बोल्ट की स्टील स्ट्रेंथ से अधिक करने के लिए (ताकि डक्टाइल स्टील फेलियर सुनिश्चित हो सके) किस आकार के पेडस्टल की आवश्यकता है। परिणाम दर्शाते हैं कि व्यावहारिक बोल्ट साइज (जैसे, C30/37 कंक्रीट में चार M24 ग्रेड 4.6 बोल्ट) के लिए, आवश्यक पेडस्टल साइड लगभग 1.6 मीटर है। चूंकि सामान्य पेडस्टल्स बहुत छोटे होते हैं (जैसे, 700 मिमी), इसलिए व्यवहार में कंक्रीट ब्रेकआउट ही अनिवार्य रूप से शासन करता है। केवल बोल्ट चयन के माध्यम से डक्टिलिटी प्राप्त करना असंभव है; इसके लिए एंकर सुदृढीकरण (reinforcement) की आवश्यकता होती है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह नैरो-मेंबर पेडस्टल्स के लिए अधिकतम कंक्रीट ब्रेकआउट रेजिस्टेंस का पहला क्लोज्ड-फॉर्म स्टेटमेंट प्रदान करता है। इसका प्राथमिक महत्व है:

डिजाइन स्पष्टता: यह डिजाइनरों को केवल उनके आयामों और कंक्रीट ग्रेड के आधार पर तुरंत यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि एक पेडस्टल कितना अधिकतम टेंशन झेल सकता है, बिना बोल्ट लेआउट के बार-बार अनुकूलन (iteration) के।
यथार्थवादी अपेक्षाएं: यह दर्शाता है कि नैरो-मेंबर लिमिट से परे बोल्ट का आकार या एम्बेडेमेंट बढ़ाना कंक्रीट क्षमता बढ़ाने के लिए निरर्थक है।
डक्टिलिटी मार्गदर्शन: यह सामान्य पेडस्टल आकारों में डक्टाइल फेलियर मोड (स्टील यील्डिंग होने से पहले कंक्रीट ब्रेकआउट) प्राप्त करने की अव्यवहारिकता को प्रमाणित करता है, जो डक्टाइल डिजाइन के लिए एंकर सुदृढीकरण की आवश्यकता को पुख्ता करता है।
रूढ़िवादिता (Conservatism): लेखक नोट करते हैं कि व्युत्पन्न सीलिंग उस कोड मॉडल द्वारा दी गई ऊपरी सीमा है, जो भौतिक परीक्षण परिणामों की तुलना में अधिक रूढ़िवादी होने की संभावना है, क्योंकि परीक्षणों में मेंबर थिकनेस और सरफेस सुदृढीकरण प्रभाव के कारण उच्च प्रतिरोध दिख सकता है जिसे मानक मॉडल में पूरी तरह से क्रेडिट नहीं दिया जाता है।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि एक डिज़ाइन चार्ट (Eq. 7) प्रदान करता है जो दिए गए डिज़ाइन टेंशन के लिए आवश्यक पेडस्टल साइड निर्धारित करने के काम आता है, जो प्रारंभिक डिज़ाइन और एंकर सुदृढीकरण लागू करने के निर्णय के लिए एक प्रत्यक्ष उपकरण के रूप में कार्य करता है।

तकनीकी सारांश: कंक्रीट ब्रेकआउट प्रतिरोध पर एक क्लोज्ड-फॉर्म अपर बाउंड (ऊपरी सीमा)

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