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A closed-Form Upper Bound on the Concrete Breakout Resistance of Anchor Groups in Rectangular Pedestals Under the EN 1992-4 Narrow-Member Rule

Diese Arbeit leitet eine geschlossene obere Schranke für den Ausbruchwiderstand von Gruppen von Kopfbolzen in rechteckigen Sockeln nach EN 1992-4 her, wobei sie zeigt, dass dieser Widerstand durch die Grundfläche des Sockels und nicht durch die Einbindetiefe begrenzt wird, und stellt Bemessungstabellen sowie Vergleiche zu ACI 318 bereit, um aufzuzeigen, dass der Betonausbruch in der praktischen Anwendung typischerweise gegenüber der Stahlfestigkeit maßgebend ist.

Ursprüngliche Autoren: Eghosasere Oluwaseyi Rowland-Lato

Veröffentlicht 2026-10-29

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Eghosasere Oluwaseyi Rowland-Lato

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich eine schwere Maschine, einen hohen Turm oder eine Säule vor, die auf einem Betonblock steht. Um zu verhindern, dass sie umkippt oder von starken Winden weggerissen wird, verankern Ingenieure sie mit dicken Metallstäben an diesem Block. Diese Stäbe sind tief im Beton eingebettet. Seit Jahrzehnten verlassen sich Ingenieure auf einen Satz von Regeln, um zu berechnen, wie viel Gewicht diese Bolzen halten können, bevor der Beton um sie herum zersplittert und zerbricht. Die Regeln gehen davon aus, dass ein Betonblock mehr Gewicht halten kann, wenn man ihn tiefer macht. Es erscheint logisch: Mehr Beton bedeutet einen stärkeren Halt. Es gibt jedoch eine versteckte Falle in diesen Regeln für Blöcke, die nicht sehr breit sind. Wenn der Block schmal ist, kann der Beton nur eine begrenzte Menge an Gewicht halten, egal wie tief man die Bolzen vergräbt. Sobald die Bolzen eine bestimmte Tiefe erreichen, hört das Wachstum der Tragfähigkeit auf. Es stößt an eine Decke.

Diese Arbeit untersucht genau, wo diese Decke liegt und was dies für die Sicherheit von Bauwerken bedeutet. Der Autor, ein Ingenieur von der University of Port of Harcourt, untersuchte die spezifischen mathematischen Regeln, die in Europa für die Bemessung dieser Verbindungen verwendet werden. Er stellte eine einfache, aber entscheidende Frage: Was ist für einen Betonblock einer gegebenen Größe das absolute maximale Gewicht, das er halten kann, bevor der Beton bricht, unabhängig davon, wie viele Bolzen verwendet werden oder wie stark diese Bolzen sind? Die Studie konzentriert sich auf rechteckige Blöcke, die im Bauwesen üblich sind, und untersucht Gruppen von Bolzen, die symmetrisch angeordnet sind. Das Ziel war es, die theoretische Grenze der Festigkeit des Betons zu finden – eine Grenze, die man nicht einfach durch das Hinzufügen von mehr Stahl oder das Länger-Machen der Bolzen überschreiten kann.

Die Forschung offenbart eine überraschende Wahrheit darüber, wie diese Verbindungen versagen. Das maximale Gewicht, das ein Betonblock tragen kann, wird vollständig durch die Größe des Blocks selbst und die Festigkeit des Betons bestimmt, nicht durch die Bolzen. Sobald die Bolzen in einem spezifischen, optimalen Muster angeordnet sind, erhöht das Hinzufügen von mehr Bolzen oder die Verwendung von stärkerem Stahl nicht die Last, die der Beton tragen kann. Der Beton wird zuerst brechen, und er wird bei demselben Gewicht brechen, egal ob zwei oder zwanzig Bolzen vorhanden sind. Die Studie ergab, dass der beste Weg, die Bolzen anzuordnen, um diese maximale Festigkeit zu erreichen, darin besteht, die äußersten Bolzen in einem bestimmten Abstand zu den Kanten zu platzieren, um sie effektiv über die breitestmögliche Fläche zu verteilen, ohne die Seiten des Blocks zu berühren. Wenn der Block quadratisch ist, ist diese Anordnung unkompliziert. Wenn der Block rechteckig ist, ändert sich der optimale Abstand leicht, je nachdem, wie lang und schmal er ist, aber das Prinzip bleibt dasselbe: Die Kapazität des Betons ist durch seine Geometrie festgelegt.

Der Autor berechnete dieses maximale Limit mithilfe einer Methode namens numerischer Optimierung, was so etwas wie das Durchführen von tausenden Computersimulationen ist, um jede mögliche Anordnung von Bolzen zu testen. Die Ergebnisse bestätigten eine präzise mathematische Formel für diese Obergrenze. Bei einem quadratischen Block tritt die stärkste Anordnung auf, wenn die äußeren Bolzen an den Viertelpunkten der Seitenlänge platziert werden. Bei einem rechteckigen Block liegt das Limit etwas niedriger, wenn der Block sehr schmal ist, aber es folgt einem vorhersehbaren Muster. Die Studie verglich diese europäischen Regeln auch mit ähnlichen Regeln, die in den USA verwendet werden. Dabei wurde festgestellt, dass die amerikanischen Regeln ein etwas höheres Gewichtslimit zulassen, etwa achtzehn Prozent mehr, aber nur für Blöcke, die nicht extrem tief sind. Für tiefere Blöcke vergrößert sich dieser Unterschied.

Vielleicht ist die bedeutendste Erkenntnis diejenige, die die Sicherheit der Struktur betrifft. Ingenieure bevorzugen oft ein Design, bei dem sich die Metallbolzen dehnen und verbiegen, bevor der Beton bricht. Dies wird als duktiles Versagen bezeichnet, und es gibt einen Warnhinweis, bevor ein Einsturz erfolgt. Wenn der Beton plötzlich bricht, ist dies ein sprödes Versagen, was gefährlich ist. Die Arbeit zeigt, dass der Betonblock massiv groß sein muss, damit er genug Gewicht hält, um die Bolzen zuerst verbiegen zu lassen. Für einen typischen Satz von vier Bolzen, wie sie im Bauwesen verwendet werden, müsste der Block fast zwei Meter breit sein, um die Bolzen sicher verbiegen zu lassen. Die meisten realen Blöcke sind viel kleiner, oft weniger als einen Meter breit. Das bedeutet, dass in fast jeder praktischen Situation der Beton brechen wird, bevor die Bolzen sich verbiegen. Der einzige Weg, das sicherere, verbiegende Versagensmodell in diesen kleineren Blöcken zu erreichen, besteht darin, zusätzlichen Stahl im Inneren des Betons einzubauen, der speziell darauf ausgelegt ist, die Last zu halten, falls die Bolzen zu dehnen beginnen.

Die Studie bietet zudem ein praktisches Werkzeug für Konstrukteure. Sie bietet eine Tabelle, die Ingenieuren genau sagt, wie groß ein Betonblock sein muss, um ein bestimmtes Gewicht allein durch die Festigkeit des Betons zu halten. Wenn ein Block kleiner ist, als die Tabelle suggeriert, weiß der Ingenieur sofort, dass er eine Bewehrung hinzufügen muss, ungeachtet dessen, wie stark die Bolzen sind. Dies nimmt das Raten aus der frühen Planungsphase. Die Forschung bestätigt, dass man zwar die Bolzen stärker machen kann, man den Beton aber nicht stärker machen kann als sein geometrisches Limit. Der Beton hat eine maximale Kapazität, und sobald man diese erreicht, ist der einzige Weg nach oben, den Block größer zu machen oder ihn mit Stahl zu verstärken. Diese Erkenntnis hilft Ingenieuren, sicherere und effizientere Strukturen zu entwerfen, indem sie die wahren Grenzen der Materialien verstehen, die sie verwenden.

Technisches Resümee: Eine geschlossene obere Schranke für den Betonausbruchwiderstand

Problemstellung
In der Tragwerksplanung werden Zuglasten aus Stützenfußplatten, Turmständer und Geräteunterstützungen häufig über eingegossene Bolzen mit Kopf (Headed Bolts) in Betonfundamenten aufgenommen. Diese Fundamente haben oft Plandimensionen, die nur geringfügig größer als die Fußplatte sind (typischerweise 500–1000 mm). Unter den Rahmenwerken des Eurocodes 2 (EN 1992-4) und ACI 318-19 werden diese Bauteile als „schmale Bauteile“ (narrow members) klassifiziert. In diesen Fällen wird die effektive Einbindetiefe ( $h_{ef}$ ) durch die Regel für schmale Bauteile begrenzt, welche $h_{ef}$ basierend auf dem größten Randabstand und dem Bolzenabstand begrenzt, anstatt auf der tatsächlichen Bolzenlänge.

Diese Regel erzeugt ein Design-Plateau: Sobald die Einbindung ausreicht, um die Einschränkung für schmale Bauteile auszulösen, führt eine Erhöhung der Bolzenlänge, des Durchmessers oder der Güteklasse zu keinerlei zusätzlichem Betonausbruchwiderstand. Während dieses Plateau in den Code-Gleichungen implizit enthalten ist, fehlte in der Literatur ein geschlossener Ausdruck, der den absoluten maximalen Widerstand definiert, den ein Fundament einer gegebenen Größe unabhängig von der Anordnung der Bolzen erreichen kann. Folglich konnten Konstrukteure den theoretischen oberen Grenzwert der Zugkraft, die ein spezifisches Fundament ohne Ankerbewehrung aufnehmen kann, nicht ohne Weiteres bestimmen.

Methodik
Die Arbeit leitet eine geschlossene obere Schranke für den Bemessungswiderstand gegen Betonausbruch ( $N_{Rd,c}$ ) für symmetrische Ankergruppen in rechteckigen Fundamenten mit den Seiten $a \le b$ ab. Die Analyse stützt sich auf die folgenden Annahmen und Schritte:

Modellformulierung: Die Studie verwendet die Concrete Capacity Design (CCD)-Methode, wie sie in EN 1992-4 implementiert ist. Es wird von konzentrischer Zugbelastung, doppelt symmetrischen Gruppen und ausreichender Bauteildicke ausgegangen, um ein versagensgesteuertes Versagen durch die Bauteildicke zu verhindern.
Optimierung: Die Ableitung maximiert die Widerstandsformel über alle möglichen äußeren Ankerabstände ( $g_x$ und $g_y$ ). Die Regel für schmale Bauteile definiert die effektive Einbindetiefe als $h'_{ef} = \max(c_{max}/1.5, s_{max}/3)$ , wobei $s_{max}$ als der Abstand der äußersten Anker interpretiert wird.
Analytische Ableitung: Der Autor löst analytisch nach dem optimalen Abstand auf, der $h'_{ef}$ minimiert und gleichzeitig die projizierte Fläche sowie die Randfaktoren maximiert. Dies erfolgt sowohl für quadratische ( $a=b$ ) als auch für rechteckige ( $a<b$ ) Geometrien.
Verifizierung: Die abgeleiteten geschlossenen Lösungen werden verifiziert durch:
- Numerische Optimierung: Eine Gittersuche (70x70) gefolgt von einer Nelder-Mead-Verfeinerung über die Ankerabstände für Gruppen von 1x1 bis 4x4.
- Symbolische Algebra: Computer-Algebrasysteme bestätigten die Ableitungen und Vereinfachungen.
- Vergleich: Die Ergebnisse werden mit den Bestimmungen von ACI 318-19 und bestehenden Testdatenbereichen verglichen.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse
Die Arbeit stellt fest, dass es eine „Obergrenze“ für den Betonausbruchwiderstand gibt, die ausschließlich durch die Geometrie des Fundaments und die Betonfestigkeit bestimmt wird, unabhängig von der Anzahl, dem Durchmesser oder der Güteklasse der Bolzen.

Geschlossene obere Schranke: Für ein rechteckiges Fundament mit den Seiten $a \le b$ und dem Aspektverhältnis $r = a/b$ ist der maximale Widerstand:
$N_{Rd,c,max} = \frac{\sqrt{6}}{9} \frac{k_1 \sqrt{f_{ck}} a \sqrt{b} \psi(r)}{\gamma_{Mc}}$
Wobei $\psi(r) = 1$ gilt, wenn $r \ge 0.5$ , und $\psi(r) = 0.7 + 0.6r$ gilt, wenn $r < 0.5$ .
Für einen einzelnen zentralen Anker ist die Schranke niedriger: $N_{Rd,c,max}^{(1)} = \frac{k_1 \sqrt{f_{ck}} b^{1.5} r(0.7 + 0.3r)}{31.5 \gamma_{Mc}}$ .
Optimales Layout: Der maximale Widerstand wird erreicht, wenn die äußeren Anker entlang der langen Seite im Abstand von $b/2$ angeordnet sind. Für quadratische Fundamente entspricht dies einer Platzierung der äußeren Anker an den Viertelpunkten ( $g = a/2$ ). Jede symmetrische Gruppe (2x2, 3x3 usw.) mit äußeren Ankern an diesen Positionen erreicht dieselbe maximale Kapazität; das Hinzufügen weiterer innerer Anker erhöht die Obergrenze nicht.
Geometrische Effizienz: Bei einer festen Grundfläche bietet ein quadratisches Fundament den höchsten Widerstand. Eine Streckung des Fundaments reduziert die Obergrenze proportional zu $r^{0.25}$ .
ACI 318-19 Vergleich: Das Gegenstück in ACI 318-19 folgt derselben strukturellen Form. Für optimale Gruppen, bei denen die begrenzte Einbindetiefe unter 280 mm liegt, liegt die ACI-Obergrenze etwa um den Faktor 1,18 höher als der EN 1992-4-Wert.
Duktilitätsimplikationen: Die Studie berechnet die erforderlichen Fundamentgrößen, damit die Betonausbruch-Obergrenze die Stahlfestigkeit der Bolzen übersteigt (um ein duktiles Stahlversagen zu gewährleisten). Die Ergebnisse zeigen, dass für praktische Bolzen (z. B. vier M24 der Güteklasse 4.6 in C30/37 Beton) die erforderliche Fundamentseite etwa 1,6 m beträgt. Da typische Fundamente viel kleiner sind (z. B. 700 mm), ist der Betonausbruch in der Praxis unvermeidlich ausschlaggebend. Eine Erzielung von Duktilität allein durch die Auswahl der Bolzen ist in Standardfundamenten unmöglich; es erfordert eine Ankerbewehrung.

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit beansprucht, die erste geschlossene Aussage über den maximalen Betonausbruchwiderstand für schmale Fundamente geliefert zu haben. Ihre primäre Bedeutung liegt in:

Design-Klarheit: Sie ermöglicht es Konstrukteuren, den maximalen Zug des Fundaments sofort basierend auf dessen Abmessungen und der Betonfestigkeit zu bestimmen, ohne eine iterative Optimierung des Bolzenlayouts durchzuführen.
Realistische Erwartungen: Sie zeigt auf, dass eine Erhöhung der Bolzengröße oder der Einbindetiefe über das Maß für schmale Bauteile hinaus zwecklos ist, um die Betonkapazität zu steigern.
Leitlinie zur Duktilität: Sie quantifiziert die Unpraktikabilität, in typischen Fundamentgrößen ein duktiles Versagen (Fließen des Stahls vor Betonausbruch) zu erreichen, und unterstreicht die Notwendigkeit einer Ankerbewehrung für den duktilen Entwurf.
Konservativität: Der Autor merkt an, dass die abgeleitete Obergrenze die durch den Code-Modell zulässige obere Schranke darstellt, was im Vergleich zu physischen Testergebnissen wahrscheinlich konservativ ist, da reale Tests aufgrund von Bauteildicke und Oberflächenbewehrungseffekten, die im Standardmodell nicht voll berücksichtigt werden, höhere Widerstände aufzeigen können.

Die Arbeit schließt mit einem Bemessungsdiagramm (Gl. 7) ab, um die erforderliche Fundamentseite für eine gegebene Bemessungszugkraft zu bestimmen, was als direktes Werkzeug für die Vorbemessung und die Entscheidung über die Implementierung einer Ankerbewehrung dient.

Technisches Resümee: Eine geschlossene obere Schranke für den Betonausbruchwiderstand

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