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A closed-Form Upper Bound on the Concrete Breakout Resistance of Anchor Groups in Rectangular Pedestals Under the EN 1992-4 Narrow-Member Rule

本文推导了在 EN 1992-4 标准下，矩形柱台中成组带头螺栓混凝土拔出抗力的闭式形式上限，证明了该抗力受限于柱体的平面尺寸而非埋深，并提供了设计图表及与 ACI 318 的对比，以表明在实际应用中，混凝土拔出通常比钢材强度起主导作用。

原作者： Eghosasere Oluwaseyi Rowland-Lato

发布于 2026-10-29

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原作者： Eghosasere Oluwaseyi Rowland-Lato

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，一台沉重的机械设备、一座高塔或一根建筑柱正立在一个混凝土块上。为了防止它们因倾覆或强风而移位，工程师们使用粗壮的金属杆将它们锚固在混凝土块中。这些金属杆深深地嵌入混凝土内部。几十年来，工程师们一直依赖一套规则来计算这些螺栓在周围混凝土破碎崩裂前能承受多少重量。这些规则假设，如果你把混凝土块做得更深，螺栓就能承受更大的重量。这看起来很合乎逻辑：更多的混凝土意味着更强的抓力。然而，对于宽度较小的混凝土块，这些规则中隐藏着一个陷于。如果混凝土块很窄，无论你把螺栓埋得有多深，混凝土能承受的重量都是有限的。一旦螺栓达到一定的深度，强度就会停止增长。它遇到了一个天花板。

本文研究了那个天花板究竟在哪里，以及它对结构安全意味着什么。作者是一位来自哈尔特港大学（University of Port Harcourt）的工程师，他研究了欧洲用于设计这些连接结构的特定数学规则。他提出了一个简单但至关重要的问题：对于给定尺寸的混凝土块，无论使用多少螺栓或螺栓有多强，混凝土能承受的最大重量绝对值是多少？该研究侧重于建筑中常见的矩形混凝土块，并检查了对称排列的螺栓组。其目标是找到混凝土强度的理论极限，即一个无法通过单纯增加钢材或加长螺栓来超越的极限。

研究揭示了关于这些连接失效方式的一个令人惊讶的事实。混凝土块能承受的最大重量完全取决于混凝土块本身的大小和混凝土的强度，而不是取决于螺栓。一旦螺栓按照特定的、最优的模式进行布置，增加更多的螺栓或使用更强的钢材并不会增加混凝土所能承载的载荷。混凝土会先发生破坏，而且无论使用两个还是二十个螺栓，其破坏时的重量都是一样的。研究发现，使之达到这种最大强度的最佳螺栓布置方法是，将最外层的螺栓放置在距离边缘特定的距离处，从而有效地展开分布，以覆盖尽可能广泛的区域而不触及侧边。如果混凝土块是正方形的，这种布置方式非常直接。如果混凝土块是矩形的，最优间距会根据其长宽比略有变化，但原理是一致的：混凝土的承载能力是由其几何形状决改的。

作者使用了一种称为数值优化的方法计算了这个最大极限，这类似于运行数千次计算机模拟，以测试每一种可能的螺栓布置方案。结果证实了一个精确的数学公式，用以描述这个上限。对于正方形混凝土块，最强的布置方式是当外侧螺栓位于边长四分之一点处。对于矩形混凝土块，如果块体非常窄，其极限会略低，但遵循一个可预测的模式。该研究还将这些欧洲规则与美国使用的类似规则进行了比较。研究发现，美国的规则允许更高的重量限值，大约高出百分之十八，但仅限于那些深度不是极大的混凝土块。对于更深的块体，这种差异会进一步扩大。

或许最重要的发现涉及结构的安全性。工程师通常倾向于一种设计，即让金属螺栓在混凝土破坏之前先发生拉伸和弯曲。这被称为延性破坏（ductile failure），它能在坍塌发生前给出预警信号。如果混凝土突然破碎，则是脆性破坏（brittle failure），这是非常危险的。论文表明，为了让混凝土能够承受足够的重量以使螺栓先发生弯曲，混凝土块需要规模巨大。对于建筑中常用的四螺栓组合，混凝土块需要接近两米宽才能让螺栓安全地弯曲。大多数现实中的混凝土块要小得多，通常不到一米宽。这意味着在几乎所有的实际情况下，混凝土都会在螺栓弯曲之前先发生破坏。要在这些较小的块体中实现更安全的延性破坏模式，唯一的办法是在混凝土内部添加额外的钢筋加固，专门设计用于在螺栓开始拉伸时承载载荷。

该研究还为设计师提供了一个实用的工具。它提供了一张图表，告诉工程师为了利用混凝土自身的强度来承载特定重量，混凝土块需要多大。如果块体小于图表建议的尺寸，工程师会立即意识到必须添加钢筋加固，无论螺栓有多强。这消除了设计初期的猜测。研究证实，虽然你可以让螺栓变得更强，但你无法让混凝土强于其几何极限。混凝土有一个最大容量，一旦达到这个容量，提升强度的唯一途径就是让块体变得更大，或者用钢筋进行加固。这一见解通过让工程师了解所用材料的真实极限，帮助他们设计出更安全、更高效的结构。

技术摘要：混凝土抗拔承载力的闭式上限

问题陈述
在结构工程中，柱基、塔架支柱和设备支撑的拉伸载荷通常通过铸入式带头螺栓锚固在混凝土基座中。这些基座的平面尺寸通常仅略大于底板（通常为 500–1000 mm）。在 Eurocode 2 (EN 1992-4) 和 ACI 318-19 设计框架下，此类构件被归类为“窄构件”。在这种情况下，有效埋深 ( $h_{ef}$ ) 会受到窄构件规则的限制，该规则根据最大边缘距离和螺栓间距来限制 $h_{ef}$ ，而非实际的螺栓长度。

这一规则创造了一个设计平台期：一旦埋深足以触发窄构件约束，增加螺栓长度、直径或等级将不再产生额外的混凝土抗拔承载力。虽然这一平台期隐含在规范方程中，但现有文献缺乏一个闭式表达式来定义给定尺寸基座所能达到的绝对最大抗力。因此，设计师无法轻易确定在不进行锚固筋增强的情况下，特定基座理论上的最大拉伸承载力。

研究方法
本文推导了矩形基座（边长 $a \le b$ ）中对称锚固组的设计混凝土抗拔承载力 ( $N_{Rd,c}$ ) 的闭式上限。分析基于以下假设和步骤：

模型构建： 研究采用了 EN 1992-4 中实施的混凝土容量设计 (CCD) 法。假设为偏心拉伸载荷、双重对称组，并假设构件深度足够以防止厚度控制失效。
优化： 通过对所有外侧锚固间距 ( $g_x$ 和 $g_y$ ) 进行极大化处理，推导抗力方程。窄构件规则定义有效埋深为 $h'_{ef} = \max(c_{max}/1.5, s_{max}/3)$ ，其中 $s_{max}$ 被解释为最外侧锚固的间距。
解析推导： 作者通过解析方法求解最优间距，以在最大化投影面积和边缘系数的同时最小化 $h'_{ef}$ 。该过程针对正方形 ( $a=b$ ) 和矩形 ( $a<b$ ) 几何形状分别进行。
验证： 推导出的闭式解通过以下方式进行了验证：
- 数值优化： 采用 70x70 网格搜索，随后通过 Nelder-Mead 法对锚固间距进行精细化处理，涵盖了从 1x1 到 4x4 的锚固组。
- 符号代数： 使用计算机代数系统确认了导数和简化过程。
- 对比： 将结果与 ACI 318-19 条款及现有的实验数据范围进行了对比。

主要贡献与结果
本文确立了混凝土抗拔承载力存在一个“天花板”，该天花板仅由基座几何尺寸和混凝土强度决定，而与螺栓的数量、直径或等级无关。

闭式上限： 对于边长为 $a \le b$ 且长宽比为 $r = a/b$ 的矩形基座，最大抗力为：
$N_{Rd,c,max} = \frac{\sqrt{6}}{9} \frac{k_1 \sqrt{f_{ck}} a \sqrt{b} \psi(r)}{\gamma_{Mc}}$
其中 $\psi(r) = 1$ 若 $r \ge 0.5$ ，且 $\psi(r) = 0.7 + 0.6r$ 若 $r < 0.5$ 。
对于单个中心锚固，该上限较低： $N_{Rd,c,max}^{(1)} = \frac{k_1 \sqrt{f_{ck}} b^{1.5} r(0.7 + 0.3r)}{31.5 \gamma_{Mc}}$ 。
最优布局： 当沿长边方向的外侧锚固间距为 $b/2$ 时，可获得最大抗力。对于正方形基座，这对应于将外侧锚固放置在四分之一点处（ $g = a/2$ ）。任何具有这些位置的外侧锚固的对称组（2x2, 3x3 等）均可达到相同的最大抗力；增加更多内侧锚固并不会提高该上限。
几何效率： 在固定平面面积的情况下，正方形基座提供的抗力最高。拉长基座会使上限按 $r^{0.25}$ 的比例降低。
ACI 318-19 对比： ACI 318-19 的对应形式遵循相同的结构形式。对于受限埋深低于 280 mm 的最优组，ACI 的上限大约比 EN 1992-4 的值高出 1.18 倍。
延性影响： 研究计算了需要多大的基座尺寸才能使混凝土抗拔上限超过螺栓的钢筋强度（从而确保钢筋屈服破坏）。结果表明，对于实际的螺栓尺寸（例如，C30/37 混凝土中的四个 M24 4.6 级螺栓），所需的基座边长约为 1.6 m。由于典型的基座要小得多（例如 700 mm），在实践中混凝土抗拔破坏总是处于主导地位。仅通过选择螺栓来实现延性是不可能的；这需要锚固筋。

意义与主张
本文声称提供了第一个关于窄构件最大混凝土抗拔承载力的闭式表述。其主要意义在于：

设计清晰度： 它允许设计师仅根据尺寸和混凝土强度，即可立即确定基座能承受的最大拉力，而无需进行迭代的螺栓布局优化。
现实预期： 它证明了在超过窄构件限制后，增加螺栓尺寸或埋深对于提高混凝土容量是徒劳的。
延性指导： 它量化了在典型基座尺寸下实现延性破坏模式（即钢筋屈服先于混凝土抗拔破坏）的不切实际性，强化了在延性设计中必须使用锚固筋的必要性。
保守性： 作者指出，推导出的上限代表了规范模型允许的上界，与物理实验结果相比可能较为保守，因为实验结果可能会因构件厚度和表面加固效应而显示出更高的抗力，而这些效应并未在标准模型中得到充分体现。

文章最后提供了一个设计图表（公式 7），用于根据给定的设计拉力确定所需的基座边长，这可以作为初步设计以及决定是否实施锚固筋的直接工具。

技术摘要：混凝土抗拔承载力的闭式上限

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