A closed-Form Upper Bound on the Concrete Breakout Resistance of Anchor Groups in Rectangular Pedestals Under the EN 1992-4 Narrow-Member Rule

技術要約：コンクリート破断抵抗力に関する閉形式の上限値

問題提起
構造設計において、柱脚、タワー支柱、および機器支持部からの引張荷重は、多くの場合、コンクリートペデスタル内に埋め込まれた頭部付きボルトを介して固定される。これらのペデスタルは、ベースプレートの寸法よりわずかに大きいだけの平面寸法（通常500–1000 mm）を持つことが多い。Eurocode 2 (EN 1992-4) および ACI 318-19 の設計フレームワークの下では、このような部材は「狭幅部材（narrow members）」に分類される。この場合、有効埋込深さ（$h_{ef}$）は、実際のボルト長ではなく、最大エッジ距離とボルト間隔に基づいて制限される「狭幅部材ルール」によって制限される。

このルールは、設計上のプラトー（停滞状態）を生み出す。すなわち、埋込が狭幅部材の制約を引き起こすのに十分な深さに達すると、ボルトの長さ、直径、または鋼種を増やしても、コンクリートの破断抵抗力には追加的な利得が得られない。このプラトー現象はコードの式には暗黙的に含まれているが、既存の文献には、特定のペデスタルのサイズに対して達成可能な絶対的な最大抵抗力を定義する閉形式の式が存在しなかった。その結果、設計者はアンカー補強なしで特定のペデスタルが耐えうる理論的な上限張力を容易に判断することができなかった。

手法
本論文は、矩形ペデスタル内の対称アンカー群における設計コンクリート破断抵抗力（$N_{Rd,c}$）の閉形式の上限値を導出する。解析は以下の仮定と手順に基づいている：

1. モデルの定式化： 本研究は、EN 1992-4で実装されているコンクリート容量設計（CCD）法を利用する。同心引張荷重、二重対称群、および厚さ制御破壊を防ぐための十分な部材深さを想定している。
2. 最適化： 抵抗力の式を、すべての外側アンカースパシング（$g_x$ および $g_y$）に対して最大化する。狭幅部材ルールは、有効埋込深さを $h'_{ef} = \max(c_{max}/1.5, s_{max}/3)$ と定義しており、ここで $s_{max}$ は最外周アンカーの間隔と解釈される。
3. 解析的導出： $h'_{ef}$ を最小化しつつ、投影面積とエッジ係数を最大化する最適な間隔を解析的に解く。これは、正方形（$a=b$）および長方形（$a<b$）の両方の形状に対して行われる。
4. 検証： 導出された閉形式の解は、以下を通じて検証された：
   • 数値最適化： 1x1から4x4までのアンカー配置に対するグリッドサーチ（70x70）に続く、アンカーゲージに関するNelder-Mead法による精緻化。
   • 記号代数： コンピュータ代数システムを用いて、微分および簡略化を確認。
   • 比較： 結果をACI 318-19の規定および既存の試験データ範囲と比較。

主な貢献と結果
本論文は、コンクリートの破断抵抗力には、ボルトの数、直径、または鋼種とは無関係に、ペデスタルの幾何学的形状とコンクリート強度のみによって決定される「天井（シーリング）」が存在することを確立した。

• 閉形式の上限値： 辺 $a \le b$ を持つ矩形ペデスタルとアスペクト比 $r = a/b$ について、最大抵抗力は以下の通りである：
  $$N_{Rd,c,max} = \frac{\sqrt{6}}{9} \frac{k_1 \sqrt{f_{ck}} a \sqrt{b} \psi(r)}{\gamma_{Mc}}$$
  ここで、$\psi(r) = 1$ （$r \ge 0.5$ の場合）、および $\psi(r) = 0.7 + 0.6r$ （$r < 0.5$ の場合）である。
  単一の中央アンカーの場合、上限はより低くなる：$N_{Rd,c,max}^{(1)} = \frac{k_1 \sqrt{f_{ck}} b^{1.5} r(0.7 + 0.3r)}{31.5 \gamma_{Mc}}$。

• 最適レイアウト： 最大抵抗力は、長辺方向に外側アンカーを $b/2$ 間隔で配置したときに達成される。正方形ペデスタルの場合、これは外側アンカーを4分の1点（$g = a/2$）に配置することに相当する。これらの位置に外側アンカーを持つあらゆる対称群（2x2, 3x3等）は、同じ最大値に達する。内側のアンカーを追加しても、この天井が高まることはない。

• 幾何学的効率： 固定された平面面積に対して、正方形のペデスタルが最も高い抵抗力を提供する。ペデスタルを細長くすると、天井は $r^{0.25}$ に比例して減少する。

• ACI 318-19との比較： ACI 318-19の対応形式も同様の構造に従う。制限された埋込深さが280 mm未満の最適グループにおいて、ACIの天井値はEN 1992-4の値よりも約1.18倍高い。

• 延性への影響： 本研究は、コンクリート破断の天井値がボルトの鋼材強度を上回る（鋼材の降伏を確実にする）ために必要なペデスタルサイズを算出している。結果は、実用的なボルトサイズ（例：C30/37コンクリートにおける4本のM24 4.6級ボルト）の場合、必要なペデスタル辺長は約1.6 mであることを示している。一般的なペデスタルはこれよりもはるかに小さい（例：700 mm）ため、実際にはコンクリート破断が支配的となる。ボルトの選定のみによって延性を達成することは不可能であり、アンカー補強が必要となる。

意義と主張
本論文は、狭幅部材用ペデスタルの最大コンクリート破断抵抗力に関する最初の閉形式の記述を提供したと主張している。その主な意義は以下の通りである：

1. 設計の明確化： 設計者は、ボルト配置の反復的な最適化を行うことなく、ペデスタルの寸法とコンクリート強度のみに基づいて、最大引張力を即座に判断できる。
2. 現実的な期待： 狭幅部材の制限を超えてボルト径や埋込深さを大きくしても、コンクリート容量を高めることは無益であることを示している。
3. 延性のガイダンス： 標準的なペデスタルサイズにおいて、鋼材の降伏がコンクリート破断に先行する（延性的な破壊モードを実現する）ことの困難さを定量化し、延性設計のためのアンカー補強の必要性を強調している。
4. 保守性： 著者は、導出された天井値はコードモデルによって許容される上限値であり、部材の厚さや表面補強効果によってより高い抵抗を示す可能性がある物理的な試験結果と比較すると、おそらく保守的であることを指摘している。

本論文は、設計張力に対して必要なペデスタル辺長を決定するための設計チャート（式7）を提示しており、これは予備設計およびアンカー補強を実施するかどうかの決定のための直接的なツールとして機能する。