Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders

Sintesi Tecnica: Enumerazione Pesata di Campi Numerici e Conteggio di Punti che Assumono Valori Liberi da Quadrati Limitati

Enunciato del Problema
Il saggio affronta il problema di stabilire limiti inferiori asintotici per il numero di campi numerici di grado-$n$ con discriminante limitato da $X$, indicato con $N(n, X)$. Mentre la congettura di Malle prevede che $N(n, X) \sim c_n X$, ciò rimane non dimostrato per $n \geq 6$. Lavori precedenti hanno stabilito limiti inferiori utilizzando varie parametrizzazioni geometriche: polinomi monici ($A^1(\mathbb{Z})$), forme binarie ($P^1(\mathbb{Z})$) e anelli associati a specifici vincoli quadratici ($P^2(\mathbb{Z})$). Una limitazione significativa nella ricerca precedente, nello specifico nel lavoro dell'autore [12], era che, sebbene fosse stato stabilito un limite inferiore per il conteggio di certi anelli (anelli debolmente divisibili), il corrispondente conteggio di distinti campi numerici risultava insufficiente. Questa discrepanza derivava dal fatto che i setacci utilizzati per distinguere i campi numerici tramite condizioni locali non erano efficaci negli spazi parametrici "altamente asimmetrici" (skewed) richiesti per parametrizzare questi anelli.

Metodologia
Il saggio introduce un nuovo setaccio adattato a queste regioni asimmetriche, basandosi sul lavoro di Ekedahl, Poonen, Stoll e Bhargava. La metodologia centrale prevede:

1. Definizioni di Ordini Speciali:

   • Ordini pseudo-massimali: Ordini irriducibili $O$ dove l'invariante locale $ef(O) = 2$.
   • Ordini sudo-massimali: Ordini la cui decomposizione irriducibile consiste interamente di ordini pseudo-massimali.
   • Ordini Sudo-massimali Ristretti (ReSMO): Ordini sudo-massimali in cui, per ogni numero primo razionale $p$, al massimo un ideale primo nel luogo singolare $S(O)$ giace sopra $p$.

2. Forme Debolmente Divisibili: Il saggio utilizza forme binarie "ultra debolmente divisibili". Si tratta di forme $f$ tali che per ogni numero primo $p$, se $p^2 | \text{disc}(f)$, allora $f$ non è "fortemente divisibile" per $p$ (ovvero $f$ non ha una radice tripla o due radici doppie modulo $p$). L'autore stabilisce una biiezione tra forme ultra debolmente divisibili e ReSMO. Nello specifico, se $f$ è ultra debolmente divisibile, l'anello associato $R'_{(f, m_f, l_f)}$ è l'anello degli interi del campo generato da $f$, e ogni anello intermedio è un ReSMO.

3. Costruzione Polinomiale ($\eth_n$): Per facilitare il conteggio, l'autore definisce un polinomio multivariato $\eth_n$ le cui variabili parametrizzano i coefficienti di forme binarie che sono debolmente divisibili per un intero libero da quadrati $m$. Il luogo libero da quadrati di $\eth_n$ corrisponde uno a uno con il luogo localmente non singolare della forma del discriminante (specificamente, le forme ultra debolmente divisibili).

4. Strategia di Setaccio:

   • Il saggio impiega una versione del setaccio di Ekedahl adattata al polinomio del discriminante $\eth_n$.
   • Calcola le densità locali di forme binarie che non sono fortemente divisibili modulo $p$.
   • Conta il numero di tali forme in specifiche scatole (parametrizzate da altezza e condizioni di divisibilità) e somma su $m$ come modulo.
   • Fondamentalmente, il setaccio è applicato per imporre condizioni modulari all'interno dei termini di errore, permettendo al conteggio di operare efficacemente nelle regioni asimmetriche dove i setacci precedenti fallivano.

Contributi Chiave e Risultati

1. Limite Inferiore Migliorato per i Campi Numerici:
   Il saggio stabilisce un nuovo limite inferiore asintotico per $N(n, X)$ (il conteggio di campi di grado $n$ con gruppo di Galois $S_n$ e discriminante $< X$).

   • Teorema 1: Per $n \geq 5$, $N(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$ infinitamente spesso.
   • Questo migliora i limiti precedenti (ad esempio, Bhargava-Shankar-Wang $X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n-1}}$) utilizzando la geometria degli anelli associati alla varietà definita da $aXY - bZ^2$.

2. Conteggi Pesati:
   Il saggio fornisce limiti inferiori pesati per il numero di campi, definiti come $N^*(n, X) = \sum_{K \in S(n, X)} \frac{1}{\sqrt{\text{disc}(K)}}$.

   • Teorema 3: Per $n \geq 5$, $N^*(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{n} - \frac{4}{3}} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$.
   • Ciò implica un limite inferiore pesato per il numero di campi con discriminante limitato di $\gg X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$.

3. Conteggio di Valori Liberi da Quadrati di $\eth_n$:

   • Teorema 5: Il saggio dimostra un limite inferiore per il numero di punti $P$ dove il polinomio $\eth_n(P)$ assume un valore libero da quadrati limitato da $X$, modulo simmetrie. Il conteggio è $\gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - 1.5} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$.
   • Questo risultato si basa sulla biiezione tra il luogo libero da quadrati di $\eth_n$ e l'insieme delle forme ultra debolmente divisibili.

4. Specifiche Strutture di Anelli:

   • I risultati si applicano a campi numerici i cui anelli degli interi ammettono specifiche presentazioni geometriche, come $\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$ dove $\alpha\beta \in \mathbb{Z}$ (Teorema 6) o anelli della forma $\mathbb{P}(\mathbb{Z}[X, Y, Z]/I)$ dove $I$ contiene una forma quadratica $aXY - bZ^2$ (Teorema 50).
   • Il saggio mostra che queste specifiche strutture producono l'esponente migliorato nel limite inferiore.

5. Estensioni Non Ramificate:

   • Teorema 7: I risultati sono applicati per contare estensioni $A_n$ non ramificate di campi quadratici $\mathbb{Q}(\sqrt{s})$. Il saggio deriva un limite inferiore per $\sum_{s < X} \frac{\log |\text{Cl}_{\mathbb{Q}(\sqrt{s})}[A_n]|}{\sqrt{s}}$, migliorando le stime precedenti derivate da campi monogenici.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene che, sviluppando un setaccio efficace negli spazi parametrici "asimmetrici" degli anelli debolmente divisibili, esso supera le difficoltà tecniche che precedentemente impedivano la traduzione dei conteggi degli anelli nei conteggi dei campi numerici. Il significato primario risiede nel:

• Far Avanzare il Limite Inferiore: Avvicinare l'esponente del limite inferiore noto per $N(n, X)$ al valore congetturato di 1 (congettura di Malle) per $n \geq 5$.
• Diversità Geometrica: Dimostrare che i campi numerici con anelli degli interi associati a specifiche varietà geometriche (specificamente quelle legate a $P^2(\mathbb{Z})$ e l'equazione $aXY - bZ^2$) contribuiscono significativamente al conteggio totale dei campi numerici.
• Innovazione Metodologica: L'applicazione riuscita del setaccio di Ekedahl al polinomio $\eth_n$ in regioni dove i setacci standard falliscono, permettendo l'enumerazione di valori liberi da quadrati in uno spazio parametrico non standard.

L'autore nota che, sebbene i risultati siano robusti per $n \geq 5$, il caso $n=4$ presenta sfide riguardanti il doppio conteggio nelle orbite di traslazione, che non sono pienamente risolte in questo lavoro. Il saggio conclude che questi risultati forniscono un "limite inferiore pesato" che è strettamente più forte dei risultati precedenti per l'intervallo specificato di $n$.