Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders

기술 요약: 수체(Number-Fields)의 가중치 앙수(Weighted Enumeration) 및 유계된 제곱자유(Squarefree) 값을 갖는 점의 계수

문제 정의
본 논문은 판별식(discriminant)이 $X$로 유계된 차수 $n$인 수체 $K$의 개수 $N(n, X)$에 대한 점근적 하한(asymptotic lower bounds)을 설정하는 문제를 다룬다. 말레의 추측(Malle's conjecture)은 $N(n, X) \sim c_n X$를 예측하지만, 이는 $n \geq 6$인 경우 아직 증명되지 않았다. 이전 연구들은 다양한 기하학적 매개변수화—단원 다항식($A^1(\mathbb{Z})$), 이항 형식($P^1(\mathbb{Z})$), 그리고 특정 이차 제약 조건과 관련된 환($P^2(\mathbb{Z})$)—를 사용하여 하한을 확립해 왔다. 저자의 이전 연구[12]에서 나타난 주요 한계점은, 특정 환(약하게 가분인 환, weakly divisible rings)의 개수에 대한 하한은 확립되었으나, 그에 대응하는 서로 다른 수체의 개수는 이에 미치지 못했다는 점이다. 이러한 불일치는 이 환들을 매개변수화하기 위해 필요한 "고도로 왜곡된(highly skewed)" 매개변수 공간에서, 수체를 구별하기 위해 사용된 체(sieve)가 효과적이지 못했기 때문에 발생했다.

방법론
본 논문은 에케달(Ekedahl), 푼엔(Poonen), 스톨(Stoll), 바르가바(Bhargava)의 연구를 바탕으로, 이러한 왜곡된 영역에 특화된 새로운 체를 도입한다. 핵심 방법론은 다음과 같다:

1. 특수 순서(Special Orders)의 정의:

   • 의사-극대 순서(Pseudo-maximal orders): 국소 불변량 $ef(O) = 2$를 갖는 기약 순서$O$.
   • 수도-극대 순서(Sudo-maximal orders): 기약 분해가 전적으로 의사-극대 순서로 구성된 순서.
   • 제한된 수도-극사 순서(Restricted Sudo-maximal orders, ReSMO): 모든 유리수 소수 $p$에 대하여, 특이점 집합 $S(O)$ 내의 소이데알이 $p$ 위에 존재하는 것이 최대 하나인 수도-극대 순서.

2. 약하게 가분인 형식(Weakly Divisible Forms): 본 논문은 "초 약하게 가분인(ultra weakly divisible)" 이항 형식을 활용한다. 이들은 임의의 소수 $p$에 대하여, 만약 $p^2 | \text{disc}(f)$이면 $f$가 $p$에 의해 "강하게 가분(strongly divisible)"되지 않는(즉, $f$가 modulo $p$에서 삼중근을 갖거나 두 개의 이중근을 갖지 않는) 형식이다. 저자는 초 약하게 가분인 형식과 ReSMO 사이의 전단사(bijection)를 확립한다. 구체적으로, $f$가 초 약하게 가분인 경우, 연관된 환 $R'_{(f, m_f, l_f)}$는 $f$에 의해 생성되는 체의 정수 환이며, 모든 중간 환은 ReSMO이다.

3. 다항식 구성 ($\eth_n$): 계수를 세기 용이하도록, 저자는 소수 $m$에 의해 약하게 가분인 이항 형식의 계수들을 매개변수화하는 다변수 다항식 $\eth_n$을 정의한다. $\eth_n$의 제곱자유 로커스(squarefree locus)는 판별식 형식의 국소 비특이 로커스(locally non-singular locus)(구체적으로 초 약하게 가분인 형식)와 일대일 대응한다.

4. 체 전략(Sieving Strategy):

   • 본 논문은 판별식 다항식 $\eth_n$에 적응된 에케달 체(Ekedahl sieve)의 버전을 채택한다.
   • $p$에 대해 $f$가 강하게 가분되지 않을 국소 밀도(local densities)를 계산한다.
   • 특정 박스(높이와 가분 조건에 의해 매개변수화됨) 내의 그러한 형식의 개수를 계산하고, 모듈러스 $m$에 대해 합산한다.
   • 결정적으로, 이 체는 오차 항 내에서 모듈러 조건을 강제하기 위해 적용되며, 이를 통해 이전의 체들이 실패했던 왜곡된 영역에서도 효과적으로 작동할 수 있게 한다.

주요 기여 및 결과

1. 개선된 수체의 하한:
   본 논문은 $N(n, X)$(갈루아 군이 $S_n$이고 판별식이 $X$보다 작은 차수 $n$인 체의 개수)에 대한 새로운 점근적 하한을 확립한다.

   • 정리 1: $n \geq 5$인 경우, $N(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$이 무한히 자주 성립한다.
   • 이는 $aXY - bZ^2$로 정의된 다양체와 연관된 환의 기하학을 활용함으로써, 이전의 경계값(예: Bhargava-Shankar-Wang의 $X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n-1}}$)을 개선한다.

2. 가중치 계수(Weighted Counts):
   본 논문은 $N^*(n, X) = \sum_{K \in S(n, X)} \frac{1}{\sqrt{\text{disc}(K)}}$로 정의된 수체의 가중치 하한을 제공한다.

   • 정리 3: $n \geq 5$인 경우, $N^*(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{n} - \frac{4}{3}} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$이다.
   • 이는 판별식이 유계된 수체의 개수에 대한 가중치 하한이 $\gg X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$임을 시사한다.

3. $\eth_n$의 제곱자유 값 계수:

   • 정리 5: 본 논문은 대칭성을 고려했을 때, 다항식 $\eth_n(P)$가 $X$로 유계된 제곱자유 값을 갖는 점 $P$의 개수에 대한 하한을 증명한다. 그 계수는 $\gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - 1.5} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$이다.
   • 이 결과는 $\eth_n$의 제곱자유 로커스와 초 약하게 가분인 형식의 집합 사이의 전단사에 기초한다.

4. 특정 환 구조:

   • 결과는 $\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$ (단, $\alpha\beta \in \mathbb{Z}$) 또는 $I$가 이차 형식 $aXY - bZ^2$를 포함하는 $\mathbb{P}(\mathbb{Z}[X, Y, Z]/I)$ 형태의 환과 같이, 특정 기하학적 제시를 갖는 정수 환을 가진 수체들에 적용된다 (정리 6 및 정리 50).
   • 본 논문은 이러한 특정 구조들이 수체의 하한에 대해 개선된 지수를 산출함을 보여준다.

5. 비분해 확장(Unramified Extensions):

   • 정리 7: 본 결과는 이차체 $\mathbb{Q}(\sqrt{s})$의 비분해 $A_n$-확장들을 세는 데 적용된다. 본 논문은 모노제닉(monogenic) 체들로부터 도출된 기존의 추정치를 개선하여, $\sum_{s < X} \frac{\log |\text{Cl}_{\mathbb{Q}(\sqrt{s})}[A_n]|}{\sqrt{s}}$에 대한 하한을 도출한다.

의의 및 주장
본 논문은 약하게 가분인 환의 "왜곡된" 매개변수 공간에서 효과적인 체를 개발함으로써, 이전에 환의 계수를 수체의 계수로 변환하는 것을 방해했던 기술적 어려움을 극복했다고 주장한다. 본 연구의 주요 의의는 다음과 같다:

• 하한의 진전: $n \geq 5$인 경우 $N(n, X)$의 알려진 하한 지수를 말레의 추측(Malle's conjecture)의 추측값인 1에 더 가깝게 밀어 올린다.
• 기하학적 다양성: 특정 기하학적 다양체(특히 $P^2(\mathbb{Z})$ 및 방정식 $aXY - bZ^2$와 관련된 것들)와 연관된 정수 환을 가진 수체들이 전체 수체의 개수에 유의미하게 기여함을 입증한다.
• 방법론적 혁신: 표준적인 체가 실패하는 영역에서 $\eth_n$에 에케달 체를 성공적으로 적용하여, 비표준 매개변수 공간에서의 제곱자유 값의 앙수를 가능하게 하였다.

저자는 결과가 $n \geq 5$에 대해서는 견고하지만, $n=4$의 경우는 변환 궤도(translation orbits)에서의 중복 계수(double-counting) 문제로 인해 본 연구에서 완전히 해결되지 않은 과제가 남아 있다고 언급한다. 본 논문은 이러한 발견들이 지정된 $n$의 범위에 대해 엄밀히 더 강력한 "가중치 하한"을 제공한다고 결론짓는다.