Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders

Resumen Técnico: Enumeración Ponderada de Campos Numéricos y Conteo de Puntos que Toman Valores Libres de Cuadrados Acotados

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de establecer cotas inferiores asintóticas para el número de campos numéricos de grado-$n$ con discriminante acotado por $X$, denotado como $N(n, X)$. La conjetura de Malle predice que $N(n, X) \sim c_n X$, pero esto permanece sin demostrar para $n \geq 6$. Trabajos previos han establecido cotas inferiores utilizando diversas parametrizaciones geométricas: polinomios mónicos ($A^1(\mathbb{Z})$), formas binarias ($P^1(\mathbb{Z})$) y anillos asociados con restricciones cuadráticas específicas ($P^2(\mathbb{Z})$). Una limitación significativa en la investigación previa, específicamente en el trabajo anterior del autor [12], fue que, si bien se estableció una cota inferior para el conteo de ciertos anillos (anillos débilmente divisibles), el conteo correspondiente de campos numéricos distintos resultó insuficiente. Esta discrepancia surgió porque los cribas utilizados para distinguir campos numéricos mediante condiciones locales no fueron efectivos en los espacios de parámetros "altamente sesgados" requeridos para parametrizar estos anillos.

Metodología
El artículo introduce una nueva criba adaptada a estas regiones sesgadas, basándose en el trabajo de Ekedahl, Poonen, Stoll y Bhargava. La metodología central involucra:

1. Definiciones de Órdenes Especiales:

   • Órdenes pseudo-maximales: Órdenes irreducibles donde el invariante local $ef(O) = 2$.
   • Órdenes sudo-maximales: Órdenes cuya descomposición irreducible consiste enteramente en órdenes pseudo-maximales.
   • Órdenes Restringidas Sudo-maximales (ReSMO): Órdenes sudo-maximales donde, para cada primo racional $p$, a lo sumo un ideal primo en el lugar singular $S(O)$ se encuentra sobre $p$.

2. Formas Débilmente Divisibles: El artículo utiliza formas binarias "ultra débilmente divisibles". Estas son formas $f$ tales que para cualquier primo $p$, si $p^2 | \text{disc}(f)$, entonces $f$ no es "fuertemente divisible" por $p$ (es decir, $f$ no tiene una raíz triple o dos raíces dobles módulo $p$). El autor establece una biyección entre formas ultra débilmente divisibles y ReSMOs. Específicamente, si $f$ es ultra débilmente divisible, el anillo asociado $R'_{(f, m_f, l_f)}$ es el anillo de enteros del campo generado por $f$, y cualquier anillo intermedio es un ReSMO.

3. Construcción Polinomial ($\eth_n$): Para facilitar el conteo, el autor define un polinomio multivariado $\eth_n$ cuyas variables parametrizan los coeficientes de las formas binarias que son débilmente divisibles por un entero libre de cuadrados $m$. El lugar libre de cuadrados de $\eth_n$ corresponde uno a uno con el lugar localmente no singular del polinomio discriminante (específicamente, formas ultra débilmente divisibles).

4. Estrategia de Cribado:

   • El artículo emplea una versión de la criba de Ekedahl adaptada al polinomio discriminante $\eth_n$.
   • Calcula las densidades locales de las formas binarias que no son fuertemente divisibles módulo $p$.
   • Cuenta el número de tales formas en cajas específicas (parametrizadas por altura y condiciones de divisibilidad) y suma sobre el módulo $m$.
   • Crucialmente, la criba se aplica para imponer condiciones modulares dentro de los términos de error, permitiendo que el conteo opere efectivamente en las regiones sesgadas donde las cribas anteriores fallaron.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Cota Inferior Mejorada para Campos Numéricos:
   El artículo establece una nueva cota inferior asintótica para $N(n, X)$ (el conteo de campos de grado-$n$ con grupo de Galois $S_n$ y discriminante $< X$).

   • Teorema 1: Para $n \geq 5$, $N(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$ infinitas veces.
   • Esto mejora los límites previos (por ejemplo, el de Bhargava-Shankar-Wang de $X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n-1}}$) al utilizar la geometría de los anillos asociados a la variedad definida por $aXY - bZ^2$.

2. Conteos Ponderados:
   El artículo proporciona cotas inferiores ponderadas para el número de campos, definidas como $N^*(n, X) = \sum_{K \in S(n, X)} \frac{1}{\sqrt{\text{disc}(K)}}$.

   • Teorema 3: Para $n \geq 5$, $N^*(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{n} - \frac{4}{3}} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$.
   • Esto implica una cota inferior ponderada para el número de campos con discriminante acotado de $\gg X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$.

3. Conteo de Valores Libres de Cuadrados de $\eth_n$:

   • Teorema 5: El artículo demuestra una cota inferior para el número de puntos $P$ donde el polinomio $\eth_n(P)$ toma un valor libre de cuadrados acotado por $X$, módulo simetrías. El conteo es $\gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - 1.5} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$.
   • Este resultado depende de la biyección entre el lugar libre de cuadrados de $\eth_n$ y el conjunto de formas ultra débilmente divisibles.

4. Estructuras de Anillos Específicas:

   • Los resultados se aplican a campos numéricos cuyos anillos de enteros admiten presentaciones geométricas específicas, tales como $\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$ donde $\alpha\beta \in \mathbb{Z}$ (Teorema 6) o anillos de la forma $\mathbb{P}(\mathbb{Z}[X, Y, Z]/I)$ donde $I$ contiene una forma cuadrática $aXY - bZ^2$ (Teorema 50).
   • El artículo muestra que estas estructuras específicas producen el exponente mejorado en la cota inferior.

5. Extensiones Sin Ramificación:

   • Teorema 7: Los resultados se aplican para contar extensiones $A_n$ sin ramificación de campos cuadráticos $\mathbb{Q}(\sqrt{s})$. El artículo deriva una cota inferior para $\sum_{s < X} \frac{\log |\text{Cl}_{\mathbb{Q}(\sqrt{s})}[A_n]|}{\sqrt{s}}$, mejorando las estimaciones previas derivadas de campos monogénicos.

Significancia y Pretensiones
El artículo sostiene que, al desarrollar una criba efectiva en los espacios de parámetros "sesgados" de los anillos débilmente divisibles, supera las dificultades técnicas que anteriormente impedían la traducción de los conteos de anillos en conteos de campos numéricos. La significancia primaria reside en:

• Avance de la Cota Inferior: Acercar el exponente de la cota inferior conocida para $N(n, X)$ al valor conjeturado de 1 (conjetura de Malle) para $n \geq 5$.
• Diversidad Geométrica: Demostrar que los campos numéricos cuyos anillos de enteros están asociados con variedades geométricas específicas (específicamente aquellas relacionadas con $P^2(\mathbb{Z})$ y la ecuación $aXY - bZ^2$) contribuyen significativamente al conteo total de campos numéricos.
• Innovación Metodológica: La aplicación exitosa de la criba de Ekedahl al polinomio $\eth_n$ en regiones donde las cribas estándar fallan, permitiendo la enumeración de valores libres de cuadrados en un espacio de parámetros no estándar.

El autor señala que, si bien los resultados son robustos para $n \geq 5$, el caso $n=4$ presenta desafíos relacionados con el doble conteo en las órbitas de traslación, los cuales no se resuelven completamente en este trabajo. El artículo concluye que estos hallazgos proporcionan una "cota inferior ponderada" que es estrictamente más fuerte que los resultados anteriores para el rango de $n$ especificado.