Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders

Resumo Técnico: Enumeração Ponderada de Corpos Numéricos e Contagem de Pontos que Assumem Valores Livres de Quadrados Limitados

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de estabelecer limites inferiores assintóticos para o número de corpos numéricos de grau-$n$ com discriminante limitado por $X$, denotado por $N(n, X)$. A conjectura de Malle prevê que $N(n, X) \sim c_n X$, mas isso permanece não provado para $n \geq 6$. Trabalhos anteriores estabeleceram limites inferiores utilizando várias parametrizações geométricas: polinômios mônicos ($A^1(\mathbb{Z})$), formas binárias ($P^1(\mathbb{Z})$) e anéis associados a restrições quadráticas específicas ($P^2(\mathbb{Z})$). Uma limitação significativa em pesquisas anteriores, especificamente no trabalho do autor [12], foi que, embora um limite inferior para a contagem de certos anéis (anéis fracamente divisíveis) tenha sido estabelecido, a contagem correspondente de corpos numéricos distintos ficou aquém. Essa discrepância surgiu porque os crivos usados para distinguir corpos numéricos via condições locais não foram eficazes nos espaços de parâmetros "altamente enviesados" (skewed) necessários para parametrizar esses anéis.

Metodologia
O artigo introduz um novo crivo adaptado a essas regiões enviesadas, baseando-se no trabalho de Ekedahl, Poonen, Stoll e Bhargava. A metodologia central envolve:

1. Definições de Ordens Especiais:

   • Ordens pseudo-maximais: Ordens irredutíveis onde o invariante local $ef(O) = 2$.
   • Ordens sudo-maximais: Ordens cuja decomposição irredutível consiste inteiramente em ordens pseudo-maximais.
   • Ordens Restritas Sudo-maximais (ReSMO): Ordens sudo-maximais onde, para cada primo racional $p$, no máximo um ideal primo no locus singular $S(O)$ está acima de $p$.

2. Formas Fracamente Divisíveis: O artigo utiliza formas binárias "ultra fracamente divisíveis". Estas são formas $f$ tais que, para qualquer primo $p$, se $p^2 | \text{disc}(f)$, então $f$ não é "fortemente divisível" por $p$ (ou seja, $f$ não possui uma raiz tripla ou duas raízes duplas módulo $p$). O autor estabelece uma bijeção entre formas ultra fracamente divisíveis e ReSMOs. Especificamente, se $f$ é ultra fracamente divisível, o anel associado $R'_{(f, m_f, l_f)}$ é o anel dos inteiros do corpo gerado por $f$, e qualquer anel intermediário é um ReSMO.

3. Construção Polinomial ($\eth_n$): Para facilitar a contagem, o autor define um polinômio multivariado $\eth_n$ cujas variáveis parametrizam os coeficientes de formas binárias que são fracamente divisíveis por um inteiro livre de quadrados $m$. O locus livre de quadrados de $\eth_n$ corresponde um-a-um com o locus localmente não singular da forma do discriminante (especificamente, formas ultra fracamente divisíveis).

4. Estratégia de Crivo:

   • O artigo emprega uma versão do crivo de Ekedahl adaptada ao polinômio do discriminante $\eth_n$.
   • Ele calcula densidades locais de formas binárias que não são fortemente divisíveis módulo $p$.
   • Ele conta o número de tais formas em caixas específicas (parametrizadas por altura e condições de divisibilidade) e soma sobre o módulo $m$.
   • Crucialmente, o crivo é aplicado para impor condições modulares dentro de termos de erro, permitindo que a contagem opere efetivamente nas regiões enviesadas onde os crivos anteriores falharam.

Principais Contribuições e Resultados

1. Limite Inferior Melhorado para Corpos Numéricos:
   O artigo estabelece um novo limite inferior assintótico para $N(n, X)$ (a contagem de corpos de grau-$n$ com grupo de Galois $S_n$ e discriminante $< X$).

   • Teorema 1: Para $n \geq 5$, $N(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$ infinitas vezes.
   • Isso melhora limites anteriores (por exemplo, o de Bhargava-Shankar-Wang de $X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n-1}}$) ao utilizar a geometria dos anéis associados à variedade definida por $aXY - bZ^2$.

2. Contagens Ponderadas:
   O artigo fornece limites inferiores ponderados para o número de corpos, definidos como $N^*(n, X) = \sum_{K \in S(n, X)} \frac{1}{\sqrt{\text{disc}(K)}}$.

   • Teorema 3: Para $n \geq 5$, $N^*(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{n} - \frac{4}{3}} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$.
   • Isso implica um limite inferior ponderado para o número de corpos com discriminante limitado de $\gg X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$.

3. Contagem de Valores Livres de Quadrados de $\eth_n$:

   • Teorema 5: O artigo prova um limite inferior para o número de pontos $P$ onde o polinômio $\eth_n(P)$ assume um valor livre de quadrados limitado por $X$, módulo simetrias. A contagem é $\gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - 1.5} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$.
   • Este resultado depende da bijeção entre o locus livre de quadrados de $\eth_n$ e o conjunto de formas ultra fracamente divisíveis.

4. Estruturas de Anéis Específicas:

   • Os resultados aplicam-se a corpos numéricos cujos anéis de inteiros admitem apresentações geométricas específicas, tais como $\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$ onde $\alpha\beta \in \mathbb{Z}$ (Teorema 6) ou anéis da forma $\mathbb{P}(\mathbb{Z}[X, Y, Z]/I)$ onde $I$ contém uma forma quadrática $aXY - bZ^2$ (Teorema 50).
   • O artigo mostra que essas estruturas específicas resultam no expoente melhorado no limite inferior.

5. Extensões Não Ramificadas:

   • Teorema 7: Os resultados são aplicados para contar extensões $A_n$ não ramificadas de corpos quadráticos $\mathbb{Q}(\sqrt{s})$. O artigo deriva um limite inferior para $\sum_{s < X} \frac{\log |\text{Cl}_{\mathbb{Q}(\sqrt{s})}[A_n]|}{\sqrt{s}}$, melhorando estimativas anteriores derivadas de corpos monogênicos.

Significância e Alegações
O artigo alega que, ao desenvolver um crivo eficaz nos espaços de parâmetros "enviesados" de anéis fracamente divisíveis, ele supera as dificuldades técnicas que anteriormente impediam a tradução de contagens de anéis em contagens de corpos numéricos. A principal significância reside em:

• Avanço do Limite Inferior: Aproximar o expoente do limite inferior conhecido para $N(n, X)$ do valor conjecturado de 1 (conjectura de Malle) para $n \geq 5$.
• Diversidade Geométrica: Demonstrar que corpos numéricos cujos anéis de inteiros estão associados a variedades geométricas específicas (especificamente aquelas relacionadas a $P^2(\mathbb{Z})$ e a equação $aXY - bZ^2$) contribuem significativamente para a contagem total de corpos numéricos.
• Inovação Metodológica: A aplicação bem-sucedida do crivo de Ekedahl ao polinômio $\eth_n$ em regiões onde crivos padrão falham, permitindo a enumeração de valores livres de quadrados em um espaço de parâmetros não padrão.

O autor observa que, embora os resultados sejam robustos para $n \geq 5$, o caso $n=4$ apresenta desafios relativos à contagem dupla em órbitas de translação, que não são totalmente resolvidos neste trabalho. O artigo conclui que estas descobertas fornecem um "limite inferior ponderado" que é estritamente mais forte que os resultados anteriores para o intervalo especificado de $n$.