Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders

Technische Samenvatting: Gewogen Enumeratie van Getalvelden en het Tellen van Punten die Begrensde Vierkante Vrije Waarden Aannemen

Probleemstelling
Het artikel behandelt het probleem van het vaststellen van asymptotische ondergrenzen voor het aantal getalvelden van graad-$n$ met een discriminant begrensd door $X$, aangeduid als $N(n, X)$. Hoewel de conjectuur van Malle voorspelt dat $N(n, X) \sim c_n X$, blijft dit onbewezen voor $n \geq 6$. Eerdere werken hebben ondergrenzen vastgesteld met behulp van diverse geometrische parametrisaties: monische polynomen ($A^1(\mathbb{Z})$), binaire vormen ($P^1(\mathbb{Z})$), en ringen geassocieerd met specifieke kwadratische restricties ($P^2(\mathbb{Z})$). Een significante beperking in eerder onderzoek, specifiek in het eerdere werk van de auteur [12], was dat hoewel een ondergrens voor de telling van bepaalde ringen (zwak deelbare ringen) werd vastgesteld, de overeenkomstige telling van verschillende getalvelden tekortschoot. Dit verschil ontstond omdat de zeven (sieves) die werden gebruikt om getalvelden te onderscheiden via lokale condities niet effectief waren in de "sterk scheve" (highly skewed) parameterruimten die vereist zijn om deze ringen te parametriseren.

Methodologie
Het artikel introduceert een nieuwe zeef die is afgestemd op deze scheve regio's, voortbouwend op het werk van Ekedahl, Poonen, Stoll en Bhargava. De kernmethodologie omvat:

1. Definities van Speciale Orden:

   • Pseudo-maximale orden: Irreduceerbare orden $O$ waarbij de lokale invariant $ef(O) = 2$.
   • Sudo-maximale orden: Orden waarvan de irreduceerbare decompositie volledig bestaat uit pseudo-maximale orden.
   • Beperkte Sudo-maximale Orden (ReSMO): Sudo-maximale orden waarbij, voor elke rationale priem $p$, maximaal één priemideaal in de singuliere locus $S(O)$ boven $p$ ligt.

2. Zwak Deelbare Vormen: Het artikel maakt gebruik van "ultra zwak deelbare" binaire vormen. Dit zijn vormen $f$ waarvoor geldt dat voor elke priem $p$, indien $p^2 | \text{disc}(f)$, $f$ niet "sterk deelbaar" is door $p$ (d.w.z. $f$ heeft geen driedubbel nulpunt of twee dubbele nulpunten modulo $p$). De auteur stelt een bijeenwerking vast tussen ultra zwak deelbare vormen en ReSMO's. Specifiek, als $f$ ultra zwak deelbaar is, dan is de geassocieerde ring $R'_{(f, m_f, l_f)}$ de ring van integers van het veld gegenereerd door $f$, en is elke tussenliggende ring een ReSMO.

3. Polynoom Constructie ($\eth_n$): Om het tellen te faciliteren, definieert de auteur een multivariate polynoom $\eth_n$ waarvan de variabelen de coëfficiënten parametriseren van binaire vormen die zwak deelbaar zijn door een vierkante vrije integer $m$. De vierkante vrije locus van $\eth_n$ komt één-op-één overeen met de lokaal niet-singuliere locus van de discriminantvorm (specifiek, ultra zwak deelbare vormen).

4. Zeefstrategie:

   • Het artikel maakt gebruik van een versie van de Ekedahl-zeef, aangepast aan de discriminantpolynoom $\eth_n$.
   • Het berekent lokale dichtheden van binaire vormen die niet sterk deelbaar zijn modulo $p$.
   • Het telt het aantal dergelijke vormen in specifieke boxen (geparameteriseerd door hoogte en deelbaarheidscriteria) en sommeert over de modulus $m$.
   • Cruciaal is dat de zeef wordt toegepast om modulaire condities binnen fouttermen af te dwingen, waardoor de telling effectief kan opereren in de scheve regio's waar vorige zeven faalden.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Verbeterde Ondergrens voor Getalvelden:
   Het artikel stelt een nieuwe asymptotische ondergrens vast voor $N(n, X)$ (het aantal getalvelden van graad $n$ met Galoisgroep $S_n$ en discriminant $< X$).

   • Stelling 1: Voor $n \geq 5$, $N(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$ oneindig vaak.
   • Dit verbetert eerdere grenzen (bijv. Bhargava-Shankar-Wang's $X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n-1}}$) door gebruik te maken van de geometrie van ringen geassocieerd met de variëteit gedefinieerd door $aXY - bZ^2$.

2. Gewogen Tellingen:
   Het artikel biedt gewogen ondergrenzen voor het aantal velden, gedefinieerd als $N^*(n, X) = \sum_{K \in S(n, X)} \frac{1}{\sqrt{\text{disc}(K)}}$.

   • Stelling 3: Voor $n \geq 5$, $N^*(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{n} - \frac{4}{3}} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$.
   • Dit impliceert een gewogen ondergrens voor het aantal velden met een begrensde discriminant van $\gg X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$.

3. Tellen van Vierkante Vrije Waarden van $\eth_n$:

   • Stelling 5: Het artikel bewijst een ondergrens voor het aantal punten $P$ waar de polynoom $\eth_n(P)$ een vierkante vrije waarde aanneemt die begrensd is door $X$, modulo symmetrieën. De telling is $\gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - 1.5} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$.
   • Dit resultaat berust op de bijeenwerking tussen de vierkante vrije locus van $\eth_n$ en de verzameling ultra zwak deelbare vormen.

4. Specifieke Ringstructuren:

   • De resultaten zijn van toepassing op getalvelden waarvan de ringen van integers specifieke geometrische presentaties toestaan, zoals $\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$ waarbij $\alpha\beta \in \mathbb{Z}$ (Stelling 6) of ringen van de vorm $\mathbb{P}(\mathbb{Z}[X, Y, Z]/I)$ waarbij $I$ een kwadratische vorm $aXY - bZ^2$ bevat (Stelling 50).
   • Het artikel toont aan dat deze specifieke structuren de verbeterde exponent in de ondergrens opleveren.

5. Onramified Extensies:

   • Stelling 7: De resultaten worden toegepast om onramified $A_n$-extensies van kwadratische velden $\mathbb{Q}(\sqrt{s})$ te tellen. Het artikel leidt een ondergrens af voor $\sum_{s < X} \frac{\log |\text{Cl}_{\mathbb{Q}(\sqrt{s})}[A_n]|}{\sqrt{s}}$, wat eerdere schattingen gebaseerd op monogene velden verbetert.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat door een zeef te ontwikkelen die effectief is in de "scheve" parameterruimten van zwak deelbare ringen, de technische moeilijkheden zijn overwonnen die voorheen de vertaling van ringtellingen naar getalveldtellingen verhinderden. De primaire betekenis ligt in:

• Het Verwijden van de Ondergrens: Het verhogen van de bekende ondergrens exponent voor $N(n, X)$ richting de geconjageerde waarde van 1 (Malle's conjecture) voor $n \geq 5$.
• Geometrische Diversiteit: Het aantonen dat getalvelden waarvan de ringen van integers geassocieerd zijn met specifieke geometrische variëteiten (specifiek die gerelateerd aan $P^2(\mathbb{Z})$ en de vergelijking $aXY - bZ^2$) significant bijdragen aan de totale telling van getalvelden.
• Methodologische Innovatie: De succesvolle toepassing van de Ekedahl-zeef op de polynoom $\eth_n$ in regio's waar standaard zeven falen, waardoor de enumeratie van vierkante vrije waarden in een niet-standaard parameterruimte mogelijk wordt.

De auteur merkt op dat hoewel de resultaten robuust zijn voor $n \geq 5$, de casus $n=4$ uitdagingen met zich meebrengt wat betreft dubbeltellingen in de translatie-orbits, die niet volledig zijn opgelost in dit werk. Het artikel concludeert dat deze bevindingen een "gewogen ondergrens" bieden die strikt sterker is dan vorige resultaten voor het gespecificeerde bereik van $n$.