Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders

技術要約：重み付き数体列挙および有界な平方フリー値をとる点の計数

問題設定
本論文は、判別式が $X$ で抑えられた次数 $n$ の数体 $K$ の個数 $N(n, X)$ に関する漸近的下界を確立するという問題に取り組んでいる。マレ予想（Malle's conjecture）は $N(n, X) \sim c_n X$ を予測しているが、$n \geq 6$ の場合は未解決である。これまでの研究では、様々な幾何学的パラメータ化（単項多項式 $A^1(\mathbb{Z})$、二項形式 $P^1(\mathbb{Z})$、および特定の二次制約に関連する環 $P^2(\mathbb{Z})$）を用いて下界が確立されてきた。先行研究、特に著者の以前の著作 [12] における重要な限界は、特定の環（弱可分環）の個数の下界は確立されたものの、対応する相異なる数体の個数がそれに届かなかったことである。この不一致は、これらの環をパラメータ化するために必要な「高度に歪んだ（highly skewed）」パラメータ空間において、数体を区別するために用いられた篩（ふるい）が有効ではなかったことに起因する。

手法
本論文は、Ekedahl、Poonen、Stoll、および Bhargava の研究に基づき、これらの歪んだ領域に特化した新しい篩を導入している。核心となる手法は以下の通りである：

1. 特殊なオーダーの定義：

   • 擬最大オーダー (Pseudo-maximal orders): 局所不変量 $ef(O) = 2$である既約オーダー$O$。
   • スード最大オーダー (Sudo-maximal orders): その既約分解がすべて擬最大オーダーからなるオーダー。
   • 制限付きスード最大オーダー (Restricted Sudo-maximal orders; ReSMO): すべての有理素数 $p$ に対して、特異点 $S(O)$ 内の素イデアルが $p$ の上にあるものが高々一つであるようなスード最大オーダー。

2. 弱可分形式 (Weakly Divisible Forms): 本論文は「超弱可分（ultra weakly divisible）」な二項形式を利用している。これらは、任意の素数 $p$ について、$p^2 \mid \text{disc}(f)$ ならば $f$ が $p$ によって「強可分（strongly divisible）」ではない（すなわち、$f$ が modulo $p$ で三重根または二つの二重根を持たない）ような形式である。著者は、超弱可分形式と ReSMO の間の全単射を確立している。具体的には、$f$ が超弱可分であれば、関連する環 $R'_{(f, m_f, l_f)}$ は $f$ が生成する体の整数環であり、中間環はすべて ReSMO となる。

3. 多項式構成 ($\eth_n$): 計数を容易にするため、素数 $m$ によって弱可分な二項形式の係数をパラメータ化する多変数多項式 $\eth_n$ を定義する。$\eth_n$ の平方フリーな軌跡は、判別式形式の局所非特異軌跡（具体的には超弱可分形式）と一対一に対応する。

4. 篩戦略:

   • 本論文は、判別式多項式 $\eth_n$ に適応させた Ekedahl の篩の一種を採用している。
   • $p$ に対して $f$ が強可分ではない二項形式の局所密度を計算する。
   • 特定のボックス内（高さと可分性条件によってパラメータ化される）におけるそのような形式の数を数え、モジュラス $m$ について和をとる。
   • 決定的な点として、篩は誤差項内での剰余条件を強制するために適用され、これにより、従来の篩が失敗していた歪んだ領域においても効果的に計数を行うことが可能となる。

主要な貢献および結果

1. 数体の改善された下界:
   本論文は、$N(n, X)$（ガロア群が $S_n$ で、判別式が $X$ 未満である次数 $n$ の体の数）の新しい漸近的下界を確立している。

   • 定理 1: $n \geq 5$ に対して、$N(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$ が無限回成立する。
   • これは、$aXY - bZ^2$ によって定義される多様体に関連する環の幾何学を利用することで、従来の境界（例：Bhargava-Shankar-Wang の $X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n-1}}$）を改善している。

2. 重み付き計数:
   本論文は、以下の形式の数体の重み付き下界を提供する：$N^*(n, X) = \sum_{K \in S(n, X)} \frac{1}{\sqrt{\text{disc}(K)}}$。

   • 定理 3: $n \geq 5$ に対して、$N^*(n, X) \gg_n X^{\frac{1}{n} - \frac{4}{3}} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$。
   • これは、判別式が有界な数体の個数が $\gg X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{4}{3} - \epsilon}$ であるという重み付き下界を意味する。

3. $\eth_n$ の平方フリー値の計数:

   • 定理 5: 本論文は、多項式 $\eth_n(P)$ が対称性を除いて $X$ で抑えられた平方フリーの値をとる点の数に関する下界を証明している。その数は $\gg_n X^{\frac{1}{2} + \frac{1}{n} - 1.5} (\log \log X)^{\dots} (\log X)^{\dots}$ である。
   • この結果は、$\eth_n$ の平方フリーな軌跡と超弱可分形式の集合との間の全単射に基づいている。

4. 特定の環構造:

   • これらの結果は、整数環が特定の幾何学的表現（例：$\alpha\beta \in \mathbb{Z}$ となる $\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$、または $I$ が二次形式 $aXY - bZ^2$ を含む $\mathbb{P}(\mathbb{Z}[X, Y, Z]/I)$）を持つ数体に適用される（定理 6 および定理 50）。
   • 本論文は、これらの特定の構造が下界における改善された指数を与えることを示している。

5. 非分岐拡大:

   • 定理 7: 結果は、二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{s})$ の非分岐 $A_n$ 拡大を数えるために適用される。本論文は、単一生成（monogenic）な体から導かれる従来の推定値を改善する、$\sum_{s < X} \frac{\log |\text{Cl}_{\mathbb{Q}(\sqrt{s})}[A_n]|}{\sqrt{s}}$ の下界を導出している。

意義および主張
本論文は、弱可分環の「歪んだ」パラメータ空間において有効な篩を開発することで、以前の作業において環の計数を数体の計数へと翻訳することを妨げていた技術的な困難を克服したと主張している。主な意義は以下の通りである：

• 下界の進展: $n \geq 5$ において、$N(n, X)$ の既知の下界指数をマレ予想の目標値である 1 に近づけること。
• 幾何学的多様性: 整数環が特定の幾何学的多様体（具体的には $P^2(\mathbb{Z})$ および方程式 $aXY - bZ^2$ に関連するもの）に関連付けられている数体が、数体の総計に大きく寄与していることを示すこと。
• 手法の革新: 標準的な篩が機能しない領域において、$\eth_n$ という多項式に対して Ekedahl の篩を適用することに成功し、非標準的なパラメータ空間における平方フリー値の列挙を可能にしたこと。

著者は、$n \geq 5$ の結果は堅牢であるが、$n=4$ の場合は、翻訳軌道における二重計数（double-counting）の問題が存在し、本研究では完全には解決されていないと述べている。本論文は、これらの知見が、指定された $n$ の範囲において、以前の結果よりも厳密に強い「重み付き下界」を提供することを結論付けている。