Level-set topology optimisation with unfitted finite elements and automatic shape differentiation

Sintesi Tecnica: Ottimizzazione Topologica con Metodi Level-set, Elementi Finiti Non Adattati (Unfitted) e Differenziazione Automatica della Forma

Definizione del Problema
L'ottimizzazione topologica è una tecnica computazionale critica con ampie applicazioni industriali, che tradizionalmente si basa su metodi di densità o metodi level-set. I convenzionali metodi level-set impiegano spesso tecniche di "smudging" (sfocatura), in cui il confine del dominio viene regolarizzato attraverso un'interfaccia tramite una funzione di Heaviside per consentire l'integrazione su un dominio di sfondo statico. Sebbene questo approccio sia computazionalmente efficiente, può introdurre artefatti indesiderati in problemi non lineari o di interazione fluido-struttura e non riesce a catturare appieno la derivata di forma dei funzionali sotto perturbazioni del confine.

I metodi a elementi finiti non adattati (unfitted), come il CutFEM, offrono un'alternativa, incorporando domini complessi in domini di sfondo semplici senza aggiungere gradi di libertà, fornendo una descrizione precisa del confine. Tuttavia, questi metodi affrontano diverse sfide:

1. Derivazione Analitica: Derivare le derivate di forma del primo e secondo ordine per discretizzazioni non adattate è matematicamente difficile e soggetto a errori.
2. Intersezioni di Confine: Gli esistenti risultati di calcolo della forma analitico (ad esempio, Berggren [16]) spesso assumono che il confine del dominio sia interamente contenuto all'interno del dominio di sfondo, escludendo i casi in cui il confine del dominio interseca il confine del background.
3. Volumi Isolati: Nei metodi non adattati, regioni disconnesse del dominio di design (volumi isolati) possono portare a matrici di sistema singolari poiché non sono collegate ai confini di Dirichlet tramite un materiale "ersatz" debole, come accade comunemente nei metodi di densità.
4. Precisione e Generalità: Resta da chiarire se le tecniche di differenziazione automatica possano recuperare le derivate di forma analitiche con precisione di macchina nel contesto delle discretizzazioni non adattate, in particolare per integrali complessi come gli Hessiani di forma.

Metodologia
Gli autori sviluppano un framework che combina i metodi a elementi finiti non adattati con la differenziazione automatica della forma, implementato all'interno del pacchetto Julia GridapTopOpt e del più ampio ecosistema Gridap.

1. Estensione del Calcolo della Forma Analitico:
   Il documento estende i risultati analitici esistenti (Berggren [16]) ai casi in cui il confine del dominio $\partial\Omega$ interseca il confine del dominio di sfondo $\partial D$. Gli autori derivano le derivate di forma direzionali per integrali di volume e di superficie generali, nonché per integrali di flusso, sotto queste condizioni di intersezione. Dimostrano che le semiderivate rimangono coerenti anche quando il confine del dominio tocca il confine del background, a condizione che vengano soddisfatte specifiche ipotesi riguardanti le intersezioni della mesh.

2. Differenziazione Automatica della Forma (ASD):
   Il nucleo del contributo metodologico è l'applicazione della differenziazione automatica in modalità forward alla discretizzazione non adattata.

• Numeri Duali: Il metodo utilizza numeri duali ($a + b\epsilon$) per propagare le derivate attraverso le regole di quadratura delle celle tagliate (cut cells).
• Implementazione: I valori della funzione level-set ai nodi vengono sostituiti con numeri duali. La geometria delle celle tagliate (definita dall'intersezione dell'isosuperficie zero della funzione level-set e della mesh di sfondo) e i relativi Jacobiani vengono calcolati utilizzando questi numeri duali.
• Verifica: Gli autori dimostrano che l'ASD recupera le derivate direzionali analitiche derivate nella Sezione 2 con precisione di macchina, indipendentemente dalla dimensione della mesh. Ciò elimina la necessità di derivare manualmente quantità complesse legate alla mesh. Inoltre, la tecnica permette di calcolare gli Hessiani di forma e le derivate di funzionali per i quali non sono ancora stabiliti controparti analitici rigorosi (all'interno del framework di Berggren).

3. Evoluzione del Level-set e Reinizializzazione:
   La funzione level-set viene evoluta tramite un'equazione di trasporto con un campo di velocità derivato da una regolarizzazione di estensione Hilbertiana della sensibilità. Gli autori propongono un termine di penalità interna modificato che include l'ampiezza della velocità $|n_F \cdot \beta|$ per evitare che le regioni non progettabili vengano sovra-stabilizzate. La reinizializzazione a una funzione di distanza con segno viene eseguita tramite un approccio a stato stazionario con viscosità artificiale o termini di penalità interna continua.

4. Rilevamento dei Volumi Isolati:
   Viene proposto un approccio innovativo basato sui grafi per rilevare i volumi isolati. A differenza dei metodi precedenti basati su problemi di convezione termica (che non riescono a distinguere volumi separati da un singolo strato di celle), questo metodo costruisce un grafo di connettività conforme della mesh tagliata (utilizzando tagli politopali per garantire la conformità) e applica un algoritmo di colorazione Breadth-First-Search (BFS). Questo identifica le regioni disconnesse, permettendo l'applicazione di termini di penalità per vincolare lo spostamento medio o la pressione in tali volumi, regolarizzando così le matrici di sistema.

5. Framework Computazionale:
   L'implementazione supporta il calcolo seriale e distribuito sulla memoria utilizzando GridapDistributed. Sfrutta GridapEmbedded per il calcolo su sottotriangolazioni e GridapTopOpt per il ciclo di ottimizzazione, che utilizza il metodo di Céa (metodo adjunto) combinato con l'ASD per l'ottimizzazione vincolata da PDE.

Risultati Chiave
Il framework è validato attraverso due esempi tridimensionali:

1. Compliance Minima di una Ruota Elastica Lineare: Un problema di ottimizzazione topologica che coinvolge una ruota elastica 3D con un vincolo di volume. Il problema è stato risolto su una mesh di sfondo non strutturata con circa 1,32 milioni di elementi utilizzando 48 processori in un framework a memoria distribuita. I risultati hanno dimostrato una convergenza efficace e la capacità di gestire geometrie complesse senza la derivazione analitica delle derivate di forma.
2. Interazione Fluido-Struttura (FSI): Un'ottimizzazione topologica di una struttura elastica lineare che interagisce con un flusso di Stokes. Questo problema richiedeva la gestione di un accoppiamento unidirezionale tra le fasi fluida e solida. Gli autori hanno introdotto un termine di penalità alla funzione obiettivo per prevenire la formazione di volumi solidi isolati, che altrimenti avrebbero migliorato artificialmente l'obiettivo di compliance bloccando il flusso del fluido. Il problema è stato risolto tramite la soluzione scalata (sequenziale) delle equazioni di Stokes ed elasticità.

In entrambi i casi, le tecniche di differenziazione automatica hanno calcolato con successo i gradienti richiesti, e il rilevamento dei volumi isolati basato sui grafi ha gestito efficacemente le regioni disconnesse.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene di fornire un'implementazione generale e robusta per l'ottimizzazione topologica level-set su mesh non strutturate, evitando gli oneri della derivazione analitica delle derivate di forma. Nello specifico:

• Precisione: Gli autori affermano che il loro approccio di differenziazione automatica recupera le derivate analitiche con precisione di macchina, validando il legame teorico tra l'ASD e l'approccio "discretizza-e-differenzia" di Berggren [16].
• Generalità: Estendendo il framework analitico per includere le intersezioni tra i confini del dominio e del background, il metodo affronta una lacuna nella letteratura esistente rilevante per problemi generali di ottimizzazione topologica.
• Flessibilità: L'uso dell'ASD consente l'ottimizzazione di problemi che coinvolgono fenomeni fisici complessi (ad esempio, FSI, spazi funzionali non standard come $H(\text{div})$ e $H(\text{curl})$) senza richiedere nuove derivazioni matematiche per ogni nuovo funzionale.
• Scalabilità: L'implementazione in GridapTopOpt supporta il calcolo distribuito, consentendo la risoluzione di problemi su larga scala su triangolazioni non strutturate.

Gli autori pongono questo lavoro come un passo verso la rendere l'ottimizzazione topologica non adattata più accessibile e applicabile a una più ampia gamma di problemi ingegneristici, automatizzando gli aspetti matematicamente più impegnativi del processo. Il software è rilasciato come open source.