Level-set topology optimisation with unfitted finite elements and automatic shape differentiation

Resumo Técnico: Otimização de Topologia por Conjunto de Nível com Elementos Finitos Não Ajustados e Diferenciação de Forma Automática

Enunciado do Problema
A otimização de topologia é uma técnica computacional crítica com amplas aplicações industriais, baseando-se tradicionalmente em métodos de densidade ou métodos de conjunto de nível (level-set). Os métodos convencionais de conjunto de nível frequentemente empregam técnicas de "suavização" (smudging), onde a fronteira do domínio é suavizada através de uma interface usando uma função de Heaviside para permitir a integração sobre um domínio de fundo estático. Embora computacionalmente eficientes, essa abordagem pode introduzir artefatos indesejáveis em problemas não lineares ou de interação fluido-estrutura e falha em capturar plenamente a derivada de forma de funcionais sob perturbações de fronteira.

Métodos de elementos finitos não ajustados (como o CutFEM) oferecem uma alternativa ao incorporar domínios complexos em domínios de contorno simples sem adicionar graus de liberdade extras, fornecendo uma descrição precisa da fronteira. No entanto, esses métodos enfrentam desafios:

1. Derivação Analítica: Derivar derivadas de forma de primeira e segunda ordem para discretizações não ajustadas é matematicamente difícil e propenso a erros.
2. Interseções de Fronteira: Resultados existentes de cálculo de forma analítico (ex: Berggren [16]) frequentemente assumem que a fronteira do domínio está inteiramente contida dentro do domínio de fundo, excluindo casos em que a fronteira do domínio intersecta a fronteira do fundo.
3. Volumes Isolados: Em métodos não ajustados, regiões desconectadas do domínio de design (volumes isolados) podem levar a matrizes de sistema singulares por não estarem conectadas a fronteiras de Dirichlet via um material "ersatz" fraco, como é comum em métodos de densidade.
4. Precisão e Generalidade: Permanece incerto se técnicas de diferenciação automática podem recuperar derivadas de forma analíticas com precisão de máquina no contexto de discretizações não ajustadas, particularmente para integrais complexas como Hessen de forma.

Metodologia
Os autores desenvolvem um framework combinando métodos de elementos finitos não ajustados com diferenciação de forma automática, implementado no pacote Julia GridapTopOpt e no ecossistema mais amplo Gridap.

1. Extensão do Cálculo de Forma Analítico:
   Os autores estendem resultados analíticos existentes (Berggren [16]) para casos onde a fronteira do domínio $\partial\Omega$ intersecta a fronteira do domínio de fundo $\partial D$. Eles derivam derivadas de forma direcionais para integrais de volume e superfície gerais, bem como integrais de fluxo, sob estas condições de interseção. Eles provam que as semiderivadas permanecem consistentes mesmo quando a fronteira do domínio toca a frontemda do fundo, desde que pressupostos específicos sobre as interseções de malha sejam atendidos.

2. Diferenciação de Forma Automática (ASD):
   A principal contribuição metodológica é a aplicação de diferenciação automática de modo direto (forward-mode) a discretizações não ajustadas.

• Números Duais: O método utiliza números duais ($a + b\epsilon$) para propagar derivadas através das regras de quadratura das células cortadas (cut cells).
• Implementação: Os valores da função de conjunto de nível nos nós são substituídos por números duais. A geometria das células cortadas (definida pela interseção da iso-superfície zero do conjunto de nível e a malha de fundo) e os Jacobianos associados são computados usando esses números duais.
• Verificação: Os autores demonstram que a ASD recupera as derivadas direcionais analíticas derivadas na Seção 2 com precisão de máquina, independentemente do tamanho da malha. Isso elimina a necessidade de derivação manual de quantidades complexas relacionadas à malha. Além disso, a técnica permite o cálculo de Hessen de forma e derivadas de funcionais para os quais contrapartidas analíticas rigorosas (dentro do framework de Berggren) ainda não foram estabelecidas.

3. Evolução do Conjunto de Nível e Reinicialização:
   A função de conjunto de nível é evoluída usando uma equação de transporte com um campo de velocidade derivado de uma regularização de extensão Hilbertiana da sensibilidade. Os autores propõem um termo de penalidade de interior modificado que inclui a magnitude da velocidade $|n_F \cdot \beta|$ para evitar que regiões não projetáveis sejam excessivamente estabilizadas. A reinicialização para uma função de distância com sinal é realizada por meio de uma abordagem de estado estacionário com viscosidade artificial ou termos de penalidade de interior contínuos.

4. Detecção de Volume Isolado:
   Uma abordagem inovadora baseada em grafos é proposta para detectar volumes isolados. Ao contrário de métodos anteriores que dependem de problemas de convecção térmica (que falham em distinguir volumes separados por uma única camada de célula), este método constrói um grafo de conectividade conforme da malha cortada (usando cortes politópicos para garantir conformidade) e aplica um algoritmo de coloração de Busca em Largura (BFS). Isso identifica regiões desconectadas, permitindo a aplicação de termos de penalidade para restringir o deslocamento médio ou a pressão nesses volumes, thereby regularizando as matrizes do sistema.

5. Framework Computacional:
   A implementação suporta computação serial e distribuída em memória usando GridapDistributed. Ela aproveita o GridapEmbedded para computação em subtriangulações e o GridapTopOpt para o loop de otimização, que utiliza o método de Céa (método adjunto) combinado com ASD para otimização com restrição de PDE.

Principais Resultados
O framework é validado através de dois exemplos tridimensionais:

1. Conformidade Mínima de uma Roda Elástica Linear: Um problema de otimização de topologia envolvendo uma roda elástica 3D com uma restrição de volume. O problema foi resolvido em uma malha de fundo não estruturada com aproximadamente 1,32 milhão de elementos usando 48 processadores em um framework de memória distribuída. Os resultados demonstraram convergência bem-sucedida e a capacidade de lidar com geometrias complexas sem a necessidade de derivação analítica de derivadas de forma.
2. Interação Fluido-Estrutura (FSI): Uma otimização de topologia de uma estrutura elástica linear interagindo com um escoamento de Stokes. Este problema exigiu o tratamento de acoplamento unidirecional (one-way) entre as fases fluida e sólida. Os autores introduziram um termo de penalidade na função objetivo para evitar a formação de volumes sólidos isolados, que de outra forma aumentariam artificialmente a conformidade do objetivo ao bloquear o fluxo de fluido. O problema foi resolvido através da solução escalonada (sequencial) das equações de Stokes e elasticidade.

Em ambos os casos, as técnicas de diferenciação automática computaram com sucesso os gradientes necessários, e a detecção de volume isolado baseada em grafos gerenciou efetivamente as regiões desconectadas.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer uma implementação geral e robusta para otimização de topologia por conjunto de nível em malhas não estruturadas, evitando os fardos da derivação analítica de derivadas de forma. Especificamente:

• Precisão: Os autores afirmam que sua abordagem de diferenciação automática recupera derivadas analíticas com precisão de máquina, validando a ligação teórica entre a ASD e a abordagem de "discretizar-então-diferenciar" de Berggren [16].
• Generalidade: Ao estender o framework analítico para incluir interseções entre as fronteiras do domínio e do fundo, o método aborda uma lacuna na literatura relevante para problemas gerais de otimização de topologia.
• Flexibilidade: O uso de ASD permite a otimização de problemas envolvendo fenômenos físicos complexos (ex: FSI, espaços funcionais não padrão como $H(\text{div})$ e $H(\text{curl})$) sem exigir novas derivações matemáticas para cada novo funcional.
• Escalabilidade: A implementação em GridapTopOpt suporta computação distribuída, permitendo a solução de problemas de grande escala em triangulações não estruturadas.

Os autores posicionam este trabalho como um passo para tornar a otimização de topologia por conjuntos de nível não ajustados mais acessível e aplicável a uma gama mais ampla de problemas de engenharia, automatizando os aspectos matemáticos mais exigentes do processo. O software é disponibilizado como código aberto.