Level-set topology optimisation with unfitted finite elements and automatic shape differentiation

Technische Samenvatting: Level-set Topologie-optimalisatie met Unfitted Finite Elementen en Automatische Vormdifferentiatie

Probleemstelling
Topologie-optimalisatie is een cruciale computationele techniek met brede industriële toepassingen, die traditioneel steunt op dichtheidsmethoden of level-set methoden. Conventionele level-set methoden maken vaak gebruik van "smudging"-technieken, waarbij de domeingrens wordt gladgestreken over een interface met behulp van een Heaviside-functie om integratie over een statisch achtergronddomein mogelijk te maken. Hoewel deze aanpak computationeel efficiënt is, kan het ongewenste artefacten introduceren in niet-lineaire problemen of bij fluid-structure interactie (FSI), en slaagt het er niet in om de vormafgeleide van functionalen onder randperturbaties volledig te vatten.

Unfitted finite element methoden (zoals CutFEM) bieden een alternatief door complexe domeinen in te bedden in eenvoudige omringende domeinen zonder extra vrijheidsgraden toe te voegen, wat een precieze beschrijving van de grens oplevert. Deze methoden kampen echter met uitdagingen:

1. Analytische Afleiding: Het afleiden van eerste- en tweede-orde vormafgeleiden voor unfitted discretisaties is wiskundig moeilijk en foutgevoelig.
2. Grensovergangen: Bestaande analytische vormcalculus-resultaten (bijv. Berggren [16]) gaan er vaak van uit dat de domeingrens volledig binnen het achtergronddomein ligt, wat gevallen uitsluit waarbij de domeingrens de achtergrondgrens snijdt.
3. Geïsoleerde Volumes: In unfitted methoden kunnen gedisconnecteerde regio's van het ontwerpdomein (geïsoleerde volumes) leiden tot singuliere systeemmatrices omdat ze niet verbonden zijn met Dirichlet-randen via een zwak "ersatz"-materiaal, zoals gebruikelijk is bij dichtheidsmethoden.
4. Precisie en Generaliteit: Het blijft onduidelijk of technieken voor automatische differentiatie in staat zijn om analytische vormafgeleiden tot machineprecisie te herstellen in de context van unfitted discretisaties, met name voor complexe integralen zoals vorm-Hessianen.

Methodologie
De auteurs ontwikkelen een raamwerk dat unfitted finite element methoden combineert met automatische vormdifferentiatie, geïmplementeerd binnen de Julia-package GridapTopOpt en het bredere Gridap-ecosysteem.

1. Uitbreiding van Analytische Vormcalculus:
   Het artikel breidt bestaande analytische resultaten (Berggren [16]) uit naar gevallen waarin de domeingrens $\partial\Omega$ de achtergronddomeingrens $\partial D$ snijdt. De auteurs leiden directionele vormafgeleiden af voor algemene volume- en oppervlakte-integralen, evenals flux-integralen, onder deze snijdingcondities. Ze bewijzen dat de semiderivaten consistent blijven, zelfs wanneer de domeingrens de achtergrondgrens raakt, mits specifieke aannames met betrekking tot mesh-intersecties worden voldaan.

2. Automatische Vormdifferentiatie (ASD):
   De kern van de methodologische bijdrage is de toepassing van forward-mode automatische differentiatie op unfitted discretisaties.

• Dual Numbers: De methode maakt gebruik van duale getallen ($a + b\epsilon$) om afgeleiden door de kwadratuurregels van cut-cells te propageren.
• Implementatie: De waarden van de level-set functies op de knopen worden vervangen door duale getallen. De geometrie van de cut-cells (gedefinieerd door de intersectie van de level-set zero-isosurface en de achtergrondmesh) en de bijbehorende Jacobiaan worden berekend met behulp van deze duale getallen.
• Verificatie: De auteurs demonstreren dat ASD de analytische directionele afgeleiden, zoals afgeleid in Sectie 2, herstelt tot machineprecisie, ongeacht de mesh-grootte. Dit elimineert de noodzaak voor handmatige afleiding van complexe mesh-gerelateerde grootheden. Bovendien maakt deze techniek het mogelijk om vorm-Hessianen en afgeleiden van functionalen te berekenen waarvoor nog geen strikte analytische tegenhangers (binnen het Berggren-raamwerk) zijn vastgesteld.

3. Level-set Evolutie en Reinitialisatie:
   De level-set functie wordt geëvolueerd met behulp van een transportvergelijking met een snelheidveld afgeleid van een Hilbertiaanse extensie-regularisatie van de sensitiviteit. De auteurs stellen een gemodificeerde interior penalty-term voor die de snelheid van de magnitude $|n_F \cdot \beta|$ bevat om te voorkomen dat niet-ontwerpbare regio's overmatig gestabiliseerd worden. Reinitialisatie naar een signed distance function wordt uitgevoerd via een steady-state benadering met kunstmatige viscositeit of continue interior penalty-termen.

4. Detectie van Geïsoleerde Volumes:
   Een nieuw graaf-gebaseerd algoritme wordt voorgesteld om geïsoleerde volumes te detecteren. In tegen tegenstelling tot eerdere methoden die vertrouwen op thermische convectieproblemen (die falen om volumes te onderscheiden die gescheiden zijn door een enkele cel-laag), construeert deze methode een conform connectiviteitsgrafiek van de cut-mesh (met behulp van polytopale cuts om conformiteit te garanderen) en past een Breadth-First-Search (BFS) kleuring-algoritme toe. Dit identificeert gedisconnecteerde regio's, waardoor penalty-termen kunnen worden toegepast om de gemiddelde verplaatsing of druk in deze volumes te beperken, wat de systeemmatrices regulariseert.

5. Computationeel Raamwerk:
   De implementatie ondersteunt zowel seriële als geheugen-gedistribueerde computing met behruik van GridapDistributed. Het maakt gebruik van GridapEmbedded voor berekeningen op subtriangulaties en GridapTopOpt voor de optimalisatielus, die Céa's methode (adjoint methode) combineert met ASD voor PDE-geconstrueerde optimalisatie.

Belangrijkste Resultaten
Het raamwerk wordt gevalideerd door twee driedimensionale voorbeelden:

1. Minimale Compliance van een Lineair Elastische Wiel: Een topologie-optimalisatieprobleem betreffende een 3D elastisch wiel met een volumebeperking. Het probleem werd opgelost op een ongestructureerde achtergrondmesh met ongeveer 1,32 miljoen elementen met behulp van 48 processoren in een distributed memory framework. De resultaten toonden succesvolle convergentie en het vermogen om complexe geometrieën te hanteren zonder analytische afleiding van vormafgeleiden.
2. Fluid-Structure Interaction (FSI): Een topologie-optimalisatie van een lineair elastische structuur die interacteert met Stokes-stroming. Dit probleem vereiste het behandelen van one-way koppeling tussen de fluïdum- en de vaste fasen. De auteurs introduceerden een penalty-term in de doelfunctie om de vorming van geïsoleerde vaste volumes te voorkomen, wat anders kunstmatig de compliance zou verbeteren door de fluïdumstroom te blokkeren. Het probleem werd opgelost door een gestaffelde (sequentiële) oplossing van de Stokes- en elasticiteitsvergelijkingen.

In beide gevallen slaagden de automatische differentiatie-technieken erin de vereiste gradiënten te berekenen, en beheerde de graaf-gebaseerde detectie van geïsoleerde volumes effectief de gedisconnecteerde regio's.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een algemene en robuuste implementatie te bieden voor level-set topologie-optimalisatie op ongestructureerde meshes die de lasten van analytische vormafgeleide-afleiding vermijdt. Specifiek:

• Precisie: De auteurs beweren dat hun automatische differentiatie-benadering analytische afgeleiden herstelt tot machineprecisie, wat de theoretische link tussen ASD en de discretiseer-dan-differentieer-benadering van Berggren [16] valideert.
• Generaliteit: Door het analytische raamwerk uit te breiden om intersecties tussen de domeingrens en de achtergrondgrens te omvatten, adresseert de methode een gat in de bestaande literatuur die relevant is voor algemene topologie-optimalisatieproblemen.
• Flexibiliteit: Het gebruik van ASD maakt de optimalisatie van problemen met complexe fysieke verschijnselen (bijv. FSI, niet-standaard functieruimten zoals $H(\text{div})$ en $H(\text{curl})$) mogelijk zonder dat voor elke nieuwe functionale nieuwe wiskundige afleidingen nodig zijn.
• Schaalbaarheid: De implementatie in GridapTopOpt ondersteunt gedistribueerde computing, wat de oplossing van grootschalige problemen op ongestructureerde triangulaties mogelijk maakt.

De auteurs positioneren dit werk als een stap om level-set topologie-optimalisatie toegankelijker en toepasbaar te maken voor een breder scala aan technische problemen door de meest wiskundig veeleisende aspecten te automatiseren. De software wordt als open source vrijgegeven.