Level-set topology optimisation with unfitted finite elements and automatic shape differentiation

기술 요약: 부적합 유한 요소 및 자동 형상 미분법을 이용한 레벨 셋 위상 최적화

문제 정의
위상 최적화는 전통적으로 밀도 방법(density methods)이나 레벨 셋 방법(level-set methods)에 의존하며 광범위한 산업적 응용 분야를 가진 중요한 계산 기법이다. 기존의 레벨 셋 방법은 정적인 배경 도메인 상에서 적분을 가능하게 하기 위해 하이비사이드 함수(Heaviside function)를 사용하여 경계면을 매끄럽게 처리하는 "스머징(smudging)" 기법을 자주 사용한다. 이 방식은 계산 효율성은 높지만, 비선형 또는 유체-구조 상호작용(FSI) 문제에서 바람직하지 않은 아티팩트(artefacts)를 유발할 수 있으며, 경계 섭동 하에서의 범함수(functional)에 대한 형상 도함수(shape derivative)를 완전히 포착하지 못한다.

부적합 유한 요소법(Unfitted finite element methods, 예: CutFEM)은 추가적인 자유도 없이 복잡한 도메인을 단순한 경계 도메인 내에 임베딩함으로써 정밀한 경계 묘사를 제공하는 대안을 제시한다. 그러나 이러한 방법들은 다음과 같은 과제에 직면해 있다:

1. 해석적 유도: 부적합 이산화(unfitted discretisations)에 대한 1차 및 2차 형상 도함수를 유도하는 것은 수학적으로 어렵고 오류가 발생하기 쉽다.
2. 경계 교차: 기존의 해석적 형상 미분 결과(예: Berggren [16])는 도메인 경계가 배경 도메인 내부에 완전히 포함되어 있다고 가정하며, 도메인 경계가 배경 경계와 교차하는 경우는 제외한다.
3. 고립된 체적(Isolated Volumes): 부적합 방법에서 서로 연결되지 않은 설계 도메인의 영역(고립된 체적)은 밀도 방법에서 흔히 사용되는 약한 "에르자츠(ersatz)" 재료를 통해 디리클레 경계와 연결되지 않기 때문에 특이 시스템 행렬(singular system matrices)을 초래할 수 있다.
4. 정밀도 및 일반성: 자동 미분 기술이 특히 형상 헤시안(shape Hessians)과 같은 복잡한 적분의 맥락에서 해석적 형상 도함수를 기계 정밀도(machine precision)로 회복할 수 있는지 여부는 여전히 불분명하다.

방법론
저자들은 Julia 패키지인 GridapTopOpt 및 더 넓은 Gridap 생태계 내에서 구현된, 부적킵 유한 요소법과 자동 형상 미분을 결합한 프레임워크를 개발하였다.

1. 해석적 형상 미분법의 확장:
   본 논문은 기존의 해석적 결과(Berggren [16])를 도메인 경계 $\partial\Omega$가 배경 도메인 경계 $\partial D$와 교차하는 경우까지 확장한다. 저자들은 이러한 교차 조건 하에서 일반적인 체적 및 표면 적분, 그리고 플럭스(flux) 적분에 대한 방향성 형상 도함수를 유도한다. 저자들은 메쉬 교차에 관한 특정 가정이 충족된다면, 반도함수(semiderivatives)가 배경 경계와 맞닿아 있는 경우에도 일관성을 유지함을 증명한다.

2. 자동 형상 미분 (ASD):
   본 방법론의 핵심 기여는 부적합 이산화에 전방 모드 자동 미분(forward-mode automatic differentiation)을 적용하는 것이다.

• 듀얼 수(Dual Numbers): 이 방법은 컷 셀(cut cells)의 쿼드러처 규칙을 통해 도함수를 전파하기 위해 듀얼 수($a + b\epsilon$)를 활용한다.
• 구현: 레벨 셋 함수의 노드 값을 듀얼 수로 대체한다. 컷 셀의 기하학적 구조(레벨 셋 제로 등고선과 배경 메쉬의 교차로 정의됨)와 관련 자코비안(Jacobians)은 이 듀얼 수를 사용하여 계산된다.
• 검증: 저자들은 ASD가 메쉬 크기에 관계없이 해석적 방향 도함수를 기계 정밀도로 회복함을 입증하였다. 이는 복잡한 메쉬 관련 양들을 수동으로 유도할 필요성을 제거한다. 나아가, 이 기술은 Berggren 프레임워크 내에서 엄밀한 해석적 대응물이 아직 확립되지 않은 범함수 및 형상 헤시안의 도함수를 계산할 수 있게 한다.

3. 레벨 셋 진화 및 재초기화:
   레벨 셋 함수는 감도(sensitivity)의 힐베르트 확장 정규화(Hilbertian extension-regularisation)로부터 유도된 속도장을 사용하여 진화된다. 저자들은 설계 불가능한 영역이 과도하게 안정화되는 것을 방지하기 위해 속도 크기 $|n_F \cdot \beta|$를 포함하는 수정된 내부 페널티 항을 제안한다. 부호 거리 함수(signed distance function)로의 재초기화는 인공 점성 또는 연속 내부 페널티 항을 사용하는 정상 상태(steady-state) 접근 방식을 통해 수행된다.

4. 고립된 체적 탐지:
   고립된 체적을 탐지하기 위한 새로운 그래프 기반 접근 방식이 제안되었다. 단일 셀 레이어로 분리된 체적을 구분하지 못하는 열 대류 문제에 의존하는 기존 방법들과 달리, 이 방법은 컷 메쉬의 정합적인 연결 그래프(conformity를 보장하기 위해 폴리토팔 컷 사용)를 구축하고 너비 우선 탐색(BFS) 컬러링 알고리즘을 적용한다. 이를 통해 연결되지 않은 영역을 식별하고, 해당 체적의 평균 변위나 압력을 제한하기 위한 페널티 항을 적용하여 시스템 행렬을 정규화한다.

5. 계산 프레임워크:
   구현은 GridapDistributed를 통한 직렬 및 메모리 분산 컴퓨팅을 지원한다. 이는 서브 트리앙귤레이션(subtriangulations) 상의 계산을 위해 GridapEmbedded를 활용하며, PDE 제약 최적화를 위해 ASD와 결합된 C´ea의 방법(adjoint method)을 사용하는 GridapTopOpt를 통해 최적화 루프를 수행한다.

주요 결과
본 프레임워크는 두 가지 3차원 예제를 통해 검증되었다:

1. 선형 탄성 휠의 최소 컴플라이언스(Minimum Compliance): 체적 제약이 있는 3D 탄성 휠을 포함하는 위상 최적화 문제이다. 이 문제는 약 132만 개의 요소를 가진 비정형 배경 메쉬 상에서 48개의 프로세서를 사용하여 분산 메모리 프레임워크에서 해결되었다. 결과는 해석적 형상 도함수의 유도 없이도 복잡한 기하학적 구조를 처리할 수 있는 성공적인 수렴 능력을 보여주었다.
2. 유체-구조 상호작용 (FSI): 스토크스 유동(Stokes flow)과 상호작용하는 선형 탄성 구조의 위상 최적화이다. 이 문제는 고체 상과 유체 상 사이의 일방향 결합을 다루어야 했다. 저자들은 유체 흐름을 차단하여 컴플라이언스 목적 함수를 인위적으로 개선할 수 있는 고립된 고체 체적의 형성을 방지하기 위해 목적 함수에 페널티 항을 도입하였다. 이 문제는 스토크스와 탄성 방정식의 순차적(staggered) 풀이를 통해 해결되었다.

두 경우 모두, 자동 미분 기술은 필요한 그래디언트를 성공적으로 계산하였으며, 그래프 기반 고립 체적 탐지 방식은 연결되지 않은 영역을 효과적으로 관리하였다.

의의 및 주장
본 논문은 해석적 형상 도함수 유도의 부담을 피하면서 비정형 메쉬 상에서 레벨 셋 위상 최적화를 수행할 수 있는 일반적이고 강력한 GridapTopOpt 구현을 제공한다고 주장한다. 구체적으로:

• 정밀도: 저자들은 자신들의 자동 미분 접근 방식이 해석적 도함수를 기계 정밀도로 회복한다고 단언하며, 이를 통해 Berggren [16]의 이산화 후 미분(discretise-then-differentiate) 방식과 ASD 사이의 이론적 연결을 검증하였다.
• 일반성: 도메인과 배경 경계 사이의 교차를 포함하도록 해석적 프레임워크를 확장함으로써, 일반적인 위상 최적화 문제와 관련된 기존 문헌의 공백을 메웠다.
• 유연성: ASD의 사용은 복잡한 물리 현상(예: FSI, $H(\text{div})$ 및 $H(\text{curl})$와 같은 비표준 함수 공간)을 포함하는 문제의 최적화를 새로운 수학적 유도 없이도 가능하게 한다.
• 확장성: GridapTopOpt의 구현은 분산 컴퓨팅을 지원하여 비정형 트리앙귤레이션 상의 대규모 문제를 해결할 수 있게 한다.

저자들은 본 연구가 가장 수학적으로 까다로운 측면들을 자동화함으로써,서서히서로 다른 공학적 문제들에 적용 가능한 부적합 위상 최적화를 더욱 용이하게 만드는 단계라고 위치시킨다. 소프트웨어는 오픈 소스로 공개된다.