Level-set topology optimisation with unfitted finite elements and automatic shape differentiation

Resumen Técnico: Optimización de Topología por Conjunto de Niveles con Elementos Finitos No Ajustados y Diferenciación de Forma Automática

Planteamiento del Problema
La optimización de topología es una técnica computacional crítica con amplias aplicaciones industriales, que tradicionalmente se basa en métodos de densidad o métodos de conjunto de niveles (level-set). Los métodos de conjunto de niveles convencionales suelen emplear técnicas de "difuminado" (smudging), donde el límite del dominio se suaviza sobre una interfaz mediante una función de Heaviside para permitir la integración sobre un dominio de fondo estático. Aunque este enfoque es computacionalmente eficiente, puede introducir artefactos indeseables en problemas no lineales o de interacción fluido-estructura y no logra capturar plenamente la derivada de forma de los funcionales bajo perturbaciones de frontera.

Los métodos de elementos finitos no ajustados (como CutFEM) ofrecen una alternativa al embeber dominios complejos en dominios delimitadores simples sin añadir grados de libertad adicionales, proporcionando una descripción precisa de la frontera. Sin embargo, estos métodos enfrentan desafíos:

1. Derivación Analítica: Derivar derivadas de forma de primer y segundo orden para discretizaciones no ajustadas es matemáticamente difícil y propenso a errores.
2. Intersecciones de Frontera: Los resultados existentes de cálculo de forma analítico (por ejemplo, Berggren [16]) a menudo asumen que la frontera del dominio está completamente contenida dentro del dominio de fondo, excluyendo casos donde la frontera del dominio intersecta la frontera del dominio de fondo.
3. Volúmenes Aislados: En los métodos no ajustados, las regiones desconectadas del dominio de diseño (volúmenes aislados) pueden provocar matrices de sistema singulares debido a que no están conectadas a las fronteras de Dirichlet mediante un material "ersatz" débil, como ocurre habitualmente en los métodos de densidad.
4. Precisión y Generalidad: No está claro si las técnicas de diferenciación automática pueden recuperar las derivadas de forma analíticas con precisión de máquina en el contexto de discretizaciones no ajustadas, particularmente para integrales complejas como los hessianos de forma.

Metodología
Los autores desarrollan un marco que combina métodos de elementos finitos no ajustados con la diferenciación de forma automática, implementado dentro del paquete de Julia GridapTopOpt y el ecosistema más amplio de Gridap.

1. Extensión del Cálculo de Forma Analítico:
   Los autores extienden los resultados analíticos existentes (Berggren [16]) a casos donde la frontera del dominio $\partial\Omega$ intersecta la frontera del dominio de fondo $\partial D$. Derivan derivadas de forma direccionales para integrales de volumen y superficie generales, así como para integrales de flujo, bajo estas condiciones de intersección. Demuestran que las semiderivadas siguen siendo consistentes incluso cuando la frontera del dominio toca la frontera del fondo, siempre que se cumplan supuestos específicos respecto a las intersecciones de la malla.

2. Diferenciación de Forma Automática (ASD):
   La contribución metodológica central es la aplicación de la diferenciación automática de modo directo a las discretizaciones no ajustadas.

• Números Duales: El método utiliza números duales ($a + b\epsilon$) para propagar las derivadas a través de las reglas de cuadratura de las celdas cortadas.
• Implementación: Los valores de la función de conjunto de niveles en los nodos se reemplazan con números duales. La geometría de las celdas cortadas (definida por la intersección de la isosuperficie cero del conjunto de niveles y la malla de fondo) y sus Jacobianos asociados se computan utilizando estos números duales.
• Verificación: Los autores demuestran que la ASD recupera las derivadas direccionales analíticas derivadas en la Sección 2 con precisión de máquina, independientemente del tamaño de la malla. Esto elimina la necesidad de la derivación manual de cantidades complejas relacionadas con la malla. Además, la técnica permite computar los hessianos de forma y derivadas de funcionales para los cuales aún no se han establecido contrapartes analíticas rigurosas (dentro del marco de Berggren).

3. Evolución y Reinicialización del Conjunto de Niveles:
   La función de conjunto de niveles se evoluciona utilizando una ecuación de transporte con un campo de velocidad derivado de una regularización de extensión hilbertiana de la sensibilidad. Los autores proponen un término de penalización interior modificado que incluye la magnitud de la velocidad $|n_F \cdot \beta|$ para evitar que las regiones no diseñables sean sobreestabilizadas. La reinicialización a una función de distancia con signo se realiza mediante un enfoque de estado estacionario con viscosidad artificial o términos de penalización interior continua.

4. Detección de Volúmenes Aislados:
   Se propone un novedoso enfoque basado en grafos para detectar volúmenes aislados. A diferencia de los métodos anteriores que dependen de problemas de convección térmica (que fallan al no distinguir volúmenes separados por una sola capa de celdas), este método construye un grafo de conectividad conforme de la malla cortada (usando cortes politópicos para asegurar la conformidad) y aplica un algoritmo de coloración de Búsqueda en Anchura (BFS). Esto identifica regiones desconectadas, permitiendo la aplicación de términos de penalización para restringir el desplazamiento promedio o la presión en estos volúmenes, estabilizando así las matrices del sistema.

5. Marco Computacional:
   La implementación soporta computación serial y distribuida en memoria utilizando GridapDistributed. Aprovecha GridapEmbedded para el cómputo en subtriangulaciones y GridapTopOpt para el bucle de optimización, el cual utiliza el método de Céa (método adjunto) combinado con ASD para la optimización con restricciones de PDE.

Resultados Clave
El marco se valida mediante dos ejemplos tridimensionales:

1. Cumplimiento Mínimo de una Rueda Elástica Lineal: Un problema de optimización de topología que involucra una rueda elástica 3D con una restricción de volumen. El problema se resolvió en una malla de fondo no estructurada con aproximadamente 1.32 millones de elementos utilizando 48 procesadores en un marco de memoria distribuida. Los resultados demostraron una convergencia exitosa y la capacidad de manejar geometrías complejas sin la derivación analítica de las derivadas de forma.
2. Interacción Fluido-Estructura (FSI): Una optimización de topología de una estructura elástica lineal interactuando con un flujo de Stokes. Este problema requirió el manejo de un acoplamiento unidireccional entre las fases fluida y sólida. Los autores introdujeron un término de penalización en la función objetivo para evitar la formación de volúmenes sólidos aislados, que de otro modo mejorarían artificialmente el objetivo de cumplimiento al bloquear el flujo de fluido. El problema se resolvió mediante la solución escalonada (secuencial) de las ecuaciones de Stokes y elasticidad.

En ambos casos, las técnicas de diferenciación automática computaron con éxito los gradientes requeridos, y la detección de volúmenes aislados basada en grafos gestionó eficazmente las regiones desconectadas.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una implementación general y robusta para la optimización de topología por conjunto de niveles en mallas no estructuradas que evita las cargas de la derivación analítica de la derivada de forma. Específicamente:

• Precisión: Los autores aseguran que su enfoque de diferenciación automática recupera las derivadas analíticas con precisión de máquina, validando el vínculo teórico entre la ASD y el enfoque de "discretizar-luego-diferenciar" de Berggren [16].
• Generalidad: Al extender el marco analítico para incluir intersecciones entre las fronteras del dominio y del fondo, el método aborda un vacío en la literatura existente relevante para problemas generales de optimización de topología.
• Flexibilidad: El uso de ASD permite la optimización de problemas que involucran fenómenos físicos complejos (por ejemplo, FSI, espacios de funciones no estándar como $H(\text{div})$ y $H(\text{curl})$) sin requerir nuevas derivaciones matemáticas para cada nuevo funcional.
• Escalabilidad: La implementación en GridapTopOpt soporta computación distribuida, permitiendo la resolución de problemas a gran escala en triangulaciones no estructuradas.

Los autores posicionan este trabajo como un paso hacia la democratización de la optimización de topología por conjuntos de niveles no ajustados, haciéndola más accesible y aplicable a una gama más amplia de problemas de ingeniería al automatizar los aspectos matemáticos más exigentes del proceso. El software se libera como código abierto.