Level-set topology optimisation with unfitted finite elements and automatic shape differentiation

技術要約：非適合有限要素法と自動形状微分を用いたレベルセット・トポロジー最適化

問題提起
トポロジー最適化は、伝統的に密度法やレベルセット法に依存しており、幅広い産業応用を持つ重要な計算手法である。従来のレベルセット法では、静的な背景ドメイン上で積分を可能にするために、ヘヴィサイド関数を用いて境界を界面上で滑らかにする「スマッジング（smudging）」技術が用いられることが多い。この手法は計算効率には優れているが、非線形問題や流体構造連成問題において望ましくないアーティファクトを導入することがあり、また境界摂動下における汎関数の形状微分を完全に捉えることができない。

非適合有限要素法（CutFEMなど）は、追加の自由度を与えることなく、複雑なドメインを単純なバウンディングドメイン内に埋め込む代替案を提供するが、以下の課題に直面している：

1. 解析的導出： 非適合離散化における一次および二次形状微分を導出することは、数学的に困難であり、誤りが生じやすい。
2. 境界の交差： 既存の解析的な形状解析の結果（Berggren [16] など）は、ドメイン境界が背景ドメインの内部に完全に含まれていることを前提としており、ドメイン境界が背景境界と交差する場合を考慮していない。
3. 孤立した体積： 非適合手法において、設計ドメインの切断された領域（孤立した体積）は、密度法で一般的な「 Ersatz（代用）」材料による弱結合を持たないため、システム行列の特異性を引き起こす可能性がある。
4. 精度と汎用性： 自動微分技術が、特に形状ヘッセ行列のような複雑な積分において、非適合離散化の文脈で解析的な形状微分をマシン精度で回収できるかどうかは、依然として不明である。

手法
著者らは、Juliaパッケージである GridapTopOpt および広範な Gridap エコシステム内で実装された、非適合有限要素法と自動形状微分を組み合わせたフレームワークを開発した。

1. 解析的形状解析の拡張：
   著者らは、既存の解析的結果（Berggren [16]）を、ドメイン境界 $\partial\Omega$ が背景ドメイン境界 $\partial D$ と交差する場合へと拡張した。彼らは、これらの交差条件下における、一般的な体積積分、表面積分、およびフラックス積分の方向形状微分を導出した。著者らは、メッシュの交差に関する特定の仮定が満たされる限り、半微分（semiderivatives）が整合性を保つことを証明している。

2. 自動形状微分 (ASD)：
   本手法の核心的な手法貢献は、非適合離散化への前向きモード自動微分（forward-mode automatic differentiation）の適用である。

• デュアル数： この手法は、カットセルの求積則を通じて微分を伝播させるために、デュアル数（$a + b\epsilon$）を利用する。
• 実装： レベルセット関数のノード値がデュアル数に置き換えられる。カットセルの幾何学的形状（レベルセットのゼロ等値面と背景メッシュの交差によって定義されるもの）および関連するヤコビアンは、これらのデュアル数を用いて計算される。
• 検証： 著者らは、ASDがメッシュサイズに関わらず、解析的な方向微分をマシン精度で回収することを実証している。これにより、複雑なメッシュ関連の量を手動で導出する必要がなくなる。さらに、この技術により、厳密な解析的対応関係（Berggrenの枠組み内）がまだ確立されていない形状ヘッセ行列や汎関数の微分の計算が可能になる。

3. レベルセットの進化と再初期化：
   レベルセット関数は、感度のヒルベルチアン拡張正規化から得られる速度場を用いて、輸送方程式によって進化させられる。著者らは、非設計領域が過度に安定化されるのを防ぐために、速度の大きさ $|n_F \cdot \beta|$ を含む修正された内部ペナルティ項を提案している。符号付き距離関数への再初期化は、人工粘性または連続内部ペナルティ項を用いた定常状態のアプローチによって行われる。

4. 孤立体積の検出：
   孤立した体積を検出するための新しいグラフベースのアプローチが提案されている。熱対流問題に依存する従来の手法（単一のセル層によって分離された体積を区別できないもの）とは異なり、この手法は、カットメッシュの整合的な連結グラフを構築し（適合性を確保するために多面体カットを使用）、幅優先探索（BFS）彩色アルゴリズムを適用する。これにより、切断された領域を特定し、平均変位または圧力を拘束するためのペナルティ項を適用することで、システム行列を正則化することができる。

5. 計算フレームワーク：
   実装は、GridapDistributed を用いた逐次計算およびメモリ分散計算をサポートしている。これは、サブトリアンギュレーション上の計算に GridapEmbedded を、最適化ループには C´ea の法（随伴法）と ASD を組み合わせた PDE 制約最適化に GridapTopOpt を活用している。

主な結果
本フレームワークは、2つの3次元例によって検証された：

1. 線形弾性ホイールの最小コンプライアンス： 体積制約を伴う3D弾性ホイールのトポロジー最適化問題。この問題は、約132万個の要素を持つ非構造化背景メッシュ上で、48プロセッサを用いた分散メモリフレームワークを使用して解かれた。結果は、解析的な形状微分の導出なしに、複雑な幾何学形状を扱う能力と成功した収束を示した。
2. 流体構造連成 (FSI)： ストークス流と相互作用する線形弾性構造のトポロジー最適化。この問題は、流体相と固体相の間の片方向結合を扱う必要がある。著者らは、孤立した固体体積が形成されることで、流体の流れを遮断しコンプライアンス目的関数を人工的に改善してしまうのを防ぐため、目的関数にペナルティ項を導入した。この問題は、ストークス方程式と弾性方程式の交互（逐次）解法によって解かれた。

いずれの場合も、自動微分技術は必要な勾配を正常に計算し、グラフベースの孤立体積検出は、切断された領域を効果的に管理した。

意義と主張
本論文は、解析的な形状微分の導出という負担を回避し、非構造化メッシュ上でのレベルセット・トポロジー最適化のための、一般的かつ堅牢な実装を提供することを主張している。具体的には：

• 精度： 著者らは、彼らの自動微分アプローチが解析的な微分をマシン精度で回収することを断言しており、ASDと Berggren [16] の離散化後微分（discretise-then-differentiate）との理論的関連性を検証している。
• 汎用性： ドメインと背景境界の交差を含むように解析的枠組みを拡張することで、一般的なトポロジー最適化問題に関連する既存文献の空白を埋めている。
• 柔軟性： ASDの使用により、複雑な物理現象（例：FSI、$H(\text{div})$ や $H(\text{curl})$ などの非標準的な関数空間）を含む問題において、新しい関数ごとに新しい数学的導出を行うことなく最適化が可能になる。
• スケーラビリティ： GridapTopOpt による実装は分散コンピューティングをサポートしており、非構造化三角形分割上の大規模問題の解決を可能にする。

著者らは、本研究を、最も数学的に困難な側面を自動化することによって、非適合トポロジー最適化をより幅広いエンジニアリング問題に適用可能にし、アクセシビリティを高めるためのステップとして位置づけている。ソフトウェアはオープンソースとして公開されている。