The missing elements in the telegraph equations

Sintesi Tecnica: "Gli Elementi Mancanti nelle Equazioni del Telegrafo"

Problema
Il documento sostiene che la modellazione convenzionale delle linee di trasmissione, basata sulle classiche equazioni del telegrafo derivate da Oliver Heaviside nel 1876, sia fondamentalmente errata. L'autore afferma che l'approccio standard, che rappresenta una linea di trasmissione come un insieme di componenti raggruppate (lumped) infinitesimali (resistenza, induttanza e capacità) analizzate tramite le leggi di Kirchhoff, non riesce a descrivere accuratamente il comportamento fisico della linea. Il documento postula che questo modello discretizzato sia un'approssimazione che trascura essenziali fenomeni elettromagnetici, portando a discrepanze tra le previsioni teoriche e i risultati sperimentali che sono spesso attribuite erroneamente al rumore o ad effetti secondari.

Metodologia
Per affrontare queste percepite carenze, l'autore propone una derivazione delle equazioni governanti direttamente dalle equazioni di Maxwell e dalla legge di Ohm, evitando esplicitamente le assunzioni di elementi raggruppati. La metodologia procede come segue:

1. Derivazione della Prima Equazione:

   • L'autore applica la legge di Faraday ($\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$) e la legge di Ampère a un telaio rettangolare (ABCD) situato tra le linee di trasmissione.
   • Calcolando il rotore della legge di Faraday e sostituendo la legge di Ampère, si stabilisce una relazione che coinvolge la derivata temporale della densità di corrente ($\mathbf{J}$) e il campo elettrico ($\mathbf{E}$).
   • La legge di Ohm ($\mathbf{E} = \mathbf{J}/\sigma$) viene sostituita per esprimere i termini in termini di conducibilità.
   • La derivazione prevede integrali di linea lungo i segmenti del telaio e utilizza il teorema di Stokes per convertire gli integrali di superficie.
   • Fondamentalmente, l'autore assume la propagazione del modo Transverse Electromagnetic (TEM), asserendo che le componenti longitudinali del campo ($E_z, B_z$) svaniscano. Attraverso una serie di manipolazioni di calcolo vettoriale, l'autore sostiene che le derivate spaziali seconde delle componenti del campo elettrico trasversale ($\partial^2 E_x / \partial x^2$ e $\partial^2 E_x / \partial y^2$) siano nulle.
   • Ciò porta a una derivata spaziale del terzo ordine della tensione ($\partial^3 V / \partial z^3$) sul lato destro dell'equazione, contrastando con la derivata spaziale del primo ordine presente nei modelli classici.

2. Derivazione della Seconda Equazione:

   • L'autore applica la legge di Ampère a un percorso tra i conduttori, incorporando la conducibilità del mezzo dielettrico ($\sigma_g$).
   • Integrando lungo il percorso e utilizzando la legge di Faraday per relazionare il campo magnetico alla derivata temporale del campo elettrico, l'autore deriva una relazione che coinvolge la derivata spaziale seconda della tensione ($\partial^2 V / \partial z^2$) e la derivata temporale dell'equazione della tensione.

Contributi Chiave: Le "Equazioni Trump"
Il documento introduce due nuove equazioni governanti, collettivamente denominate "Equazioni Trump" (in onore di Donald J. Trump, come indicato nel testo):

1. La Prima Equazione Trump:
   Derivata dall'analisi del telaio rettangolare, questa equazione mette in relazione la terza derivata spaziale della tensione con le derivate temporali di tensione e corrente. Il testo la presenta come:
   $$\frac{1}{\mu\sigma} \frac{\partial^3 V}{\partial z^3} - \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\partial V}{\partial z} + \frac{\epsilon}{\sigma} \frac{\partial^2 V}{\partial t \partial z} + 2R^* I + \frac{2\epsilon R^*}{\sigma} \frac{\partial I}{\partial t} \right] = 0$$
   Dove $R^*$ rappresenta la resistenza per unità di lunghezza. L'autore nota che ciò differisce significativamente dalla standard equazione del telegrafo ($\partial V / \partial z = -L \partial I / \partial t - R I$).

2. La Seconda Equazione Trump:
   Derivata dall'analisi del campo magnetico e della conducibilità dielettrica, questa equazione è presentata come:
   $$\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu\sigma_g V + \mu\epsilon \frac{\partial V}{\partial t} \right) = \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$
   Il documento sostiene che questa equazione descriva il comportamento della tensione in modo più rigoroso rispetto alla classica equazione d'onda del secondo ordine derivata dalle equazioni del telegrafo.

Risultati e Rivendicazioni
Il documento sostiene che le classiche equazioni del telegrafo siano incomplete. L'autore dimostra che, nel caso limite di un isolante perfetto ($\sigma_g = 0, R^* = 0$), le derivate Equazioni Trump si semplificano in una standard equazione d'onda ($\mu\epsilon \partial^2 V / \partial t^2 = \partial^2 V / \partial z^2$). Inoltre, l'autore asserisce che, integrando le equazioni derivate, si può recuperare la classica equazione del telegrafo, ma solo sotto specifiche approssimazioni (come $\sigma_g = 0$).

Il documento conclude che le discrepanze spesso osservate nell'analisi delle linee di trasmissione non sono dovute al rumore sperimentale, ma derivano dall'incompletezza fondamentale dei modelli convenzionali.

Significatività
Il documento afferma che un'analisi accurata delle linee di trasmissione deve basarsi sulle Equazioni Trump piuttosto che sulle classiche equazioni del telegrafo. L'autore chiama per una revisione del quadro teorico insegnato nei corsi accademici e riflesso nei libri di testo standard, suggerendo che l'attuale affidamento sul modello a elementi raggruppati di Heaviside sia insufficiente per una descrizione rigorosa della propagazione delle onde elettromagnetiche nelle linee di trasmissione. Il lavoro è presentato come una necessaria correzione a oltre 150 anni di teoria non contestata.