The missing elements in the telegraph equations

技術要約：「電信方程式における欠落した要素」

問題提起
本論文は、オリバー・ハイベイズスによって1876年に導出された古典的な電信方程式に基づく、従来の送電線のモデリングは根本的に誤っていると主張している。著者は、送電線を微小な集中定数要素（抵抗、インダクタンス、キャパシタンス）の集合体として捉え、キルヒホッフの法則を用いて解析する標準的な手法は、送電線の物理的挙動を正確に記述できていないと論じている。この離散化されたモデルは近似に過ぎず、不可欠な電磁現象を見落としており、理論的予測と実験結果との間に生じる不一致は、しばしばノイズや二次的な影響として誤って処理されていると論文は断じている。

手法
これらの認識された欠陥に対処するため、著者は集中定数の仮定を明示的に回避し、マクスウェル方程式とオームの法則から直接、支配方程式を導出することを提案している。その手法は以下の通りである。

1. 第一方程式の導出：

   • 著者は、送電線の間に位置する長方形の枠（ABCD）に対して、ファラデーの法則（$\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$）とアンペールの法則を適用する。
   • ファラデーの法則の回転（curl）を取り、アンペールの法則を代入することで、電流密度（$\mathbf{J}$）の時間微分と電場（$\mathbf{E}$）に関する関係式を確立する。
   • オームの法則（$\mathbf{E} = \mathbf{J}/\sigma$）を代入し、項を導電率を用いた形式で表現する。
   • 導出過程では、枠のセグメントに沿った線積分が行われ、表面積分を変換するためにストークスの定理が利用される。
   • 決定的な点として、著者は横電磁波（TEM）モードの伝搬を仮定し、縦方向の電界成分（$E_z, B_z$）は消失すると断定している。一連のベクトル解析操作を通じて、著者は横方向の電界成分の二階空間微分（$\partial^2 E_x / \partial x^2$ および $\partial^2 E_x / \partial y^2$）がゼロであると論じている。
   • これにより、古典的なモデルで見られる一次の空間微分とは対照的に、電圧の三階空間微分（$\partial^3 V / \partial z^3$）が右辺に現れることになる。

2. 第二方程式の導出：

   • 著者は、誘電体の導電率（$\sigma_g$）を考慮に入れ、導体間の経路に対してアンペールの法則を適用する。
   • 経路に沿って積分を行い、さらにファラデーの法則を用いて磁場と電場の時間微分を関連付けることで、電圧の二階空間微分（$\partial^2 V / \partial z^2$）と電圧方程式の時間微分を含む関係式を導出する。

主要な貢献： 「トランプ方程式」
本論文は、「トランプ方程式」（本文の記述に基づき、ドナルド・J・トランプにちなんで命名）と総称される二つの新しい支配方程式を導入している。

1. 第一トランプ方程式：
   長方形の枠の解析から導出されたこの方程式は、電圧の三階空間微分を、電圧と電流の時間微分に関連付けるものである。本文では次のように提示されている：
   $$\frac{1}{\mu\sigma} \frac{\partial^3 V}{\partial z^3} - \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\partial V}{\partial z} + \frac{\epsilon}{\sigma} \frac{\partial^2 V}{\partial t \partial z} + 2R^* I + \frac{2\epsilon R^*}{\sigma} \frac{\partial I}{\partial t} \right] = 0$$
   ここで、$R^*$ は単位長さあたりの抵抗を表す。著者は、これが標準的な電信方程式（$\partial V / \partial z = -L \partial I / \partial t - R I$）とは大きく異なることを指摘している。

2. 第二トランプ方程式：
   磁場と誘電体の導電率の解析から導出されたこの方程式は、次のように提示されている：
   $$\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu\sigma_g V + \mu\epsilon \frac{\partial V}{\partial t} \right) = \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$
   論文は、この方程式が古典的な二次の波動方程式よりも厳密に電圧の挙動を記述していると主張している。

結果と主張
本論文は、古典的な電信方程式は不完全であると主張している。著者は、完全絶縁体の極限ケース（$\sigma_g = 0, R^* = 0$）において、導出されたトランプ方程式が標準的な波動方程式（$\mu\epsilon \partial^2 V / \partial t^2 = \partial^2 V / \partial z^2$）に簡略化されることを示している。さらに、導出された方程式を積分することで、特定の近似（$\sigma_g = 0$ など）の下でのみ、古典的な電信方程式を回収できると断言している。

論文は、送電線解析においてしばしば観察される不一致は、実験的なノイズによるものではなく、従来のモデルの根本的な不完全性に起因すると結論付けている。

意義
本論文は、送電線の正確な解析には、古典的な電信方程式ではなくトランプ方程式に基づかなければならないと主張している。著者は、学術課程で教えられ、標準的な教科書に反映されている理論的枠組みの改訂を求めており、ハイベイズスの集中定数モデルへの現在の依存は、電磁波の送電線内における伝搬を厳密に記述するには不十分であると示唆している。この研究は、150年以上にわたって異議を唱えられることなく続いてきた理論に対する、必要な修正として提示されている。