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The missing elements in the telegraph equations

本文认为经典的电报方程存在根本性的缺陷，因为它们依赖于一种离散化的集总参数模型，并提出了一种直接从麦克斯韦方程组和欧姆定律推导出的修正公式，称之为“特朗普方程”。

原作者： Ben David Golan

发布于 2026-02-04

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原作者： Ben David Golan

原始论文根据 CC0 1.0（http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/）发布到公有领域。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

核心思想：一张有缺陷的地图

想象一下，你正试图描述水如何在一段非常长且复杂的管道系统中流动。150 年来，工程师们一直使用一套特定的规则（称为“电报方程”）来预测水的运动。这些规则的创建方法是将管道切成一个个微小的、肉眼看不见的“乐高积木”，并将每个积木视为一个简单的、孤立的组件（例如电阻器或电容器）。

作者本·大卫·戈兰（Ben David Golan）认为，这种“乐高积木”法从根本上就是错误的。 他声称，你不能通过假定电流是由微小的、不连续的块组成的，来准确描述连续的电流。正如你不能仅通过观察单个雨滴来完美描述一条奔腾的河流一样，你也无法通过叠加微小的电路组件来完美地模拟传输线。

解决方案：回归源头

戈兰建议我们不要使用“乐高积木”法，而是直接回到电力的“源代码”：麦克斯韦方程组（支配所有电场和磁场的物理基本定律）以及欧姆定律。

他相信，如果我们从这些普适定律出发，并进行正确的数学运算，而不做“乐高”假设，就会得到一套不同且更准确的规则。他将这些新规则称为**“特朗普方程”（Trump Equations）**。

（注：作者明确指出，这些方程是以唐纳德·J·特朗普命名。）

新规则是如何运作的（类比说明）

1. 第一条特朗普方程（电压-电流关系）

在旧模型中，电压（压力）与电流（流量）之间的关系是一条简单的直线。
在戈兰的新模型中，这种关系要复杂得多。他推导出了一个新的方程，其中包含了三阶导数（即观察变化率本身的变化程度的数学项）。

类比： 想象你在开车。
- 旧模型： 你只关注你的车速（电流）以及你踩油门的力度（电压）。
- 新模型： 你还必须考虑到你踩油门时动作的“顿挫感”、前方道路的弯曲程度，以及空气阻力瞬时的变化。戈兰认为，旧模型忽略了这些“顿挫”因素，这就是为什么现实世界的测量结果有时与教科书预测不符的原因。

2. 第二条特朗普方程（波的行为）

第二条方程侧重于电压波如何在传输线上传播。

旧方法： 它将波视为池塘中一个简单的涟漪，假设水面是完全静止且均匀的。
新方法： 戈兰推导出了一个波动方程，该方程考虑了电场与导线材质及其周围空间相互作用的具体方式。他认为，旧方程忽略了波在移动时发生的微妙相互作用，从而导致了预测误差。

“完美绝缘体”测试

作者通过设想一种理想场景来测试他的新方程：即导线是完美的导体，而周围空间是完美的绝缘体（没有电流泄漏）。

在这个完美的世界里，他的新方程简化后的形式看起来与旧方程非常相似。
关键点： 他认为，这种相似性仅仅是因为“泄漏”（电阻）为零而产生的巧合。在现实世界中，由于导线并不完美，旧方程会失效，此时必须使用新的“特朗普方程”才能得到正确答案。

结论

论文得出结论，那些教授“电报方程”的教科书和大学课程所传授的是一个不完整的图景。

问题所在： 理论预测与实验结果之间的差异，通常被归咎于“噪声”或“设备精度差”。
作者的观点： 真正的核心问题在于数学本身。基础已经出现了裂痕。
解决方法： 我们需要停止使用这套有着 150 年历史的“乐高积木”法，转而使用直接从基本物理定律中推导出的“特朗普方程”，以此来理解电力究竟是如何实际运动的。

简而言之： 作者认为，一个世纪以来，我们一直在使用一张简化且略有偏差的地图来导航电力世界。他根据原始物理定律绘制了一张新地图，并以一位美国总统的名字为其命名，并声称这是抵达正确终点的唯一途径。

技术摘要：“电报方程中缺失的元素”

问题陈述
本文认为，基于奥利弗·海维赛德（Oliver Heaviside）在1876年推导出的经典电报方程的传统传输线建模方法存在根本性缺陷。作者指出，将传输线视为由无穷小集总元件（电阻、电感和电容）组成的集合，并利用基尔霍夫定律进行分析的标准方法，无法准确描述传输线的物理行为。本文认为，这种离散化模型是一种近似，忽略了本质的电磁现象，导致理论预测与实验结果之间出现差异，而这些差异通常被误认为是噪声或次要效应。

方法论
为了解决这些感知到的缺陷，作者提出直接从麦克斯韦方程组和欧姆定律中推导控制方程，明确避免使用集总元件假设。其方法论步骤如下：

第一方程推导：
- 作者对位于传输线之间的矩形框架（ABCD）应用法拉第定律 ( $\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$ ) 和安培定律。
- 通过对法拉第定律取旋度并代入安培定律，建立了一个涉及电流密度 ( $\mathbf{J}$ ) 的时间导数与电场 ( $\mathbf{E}$ ) 之间的关系。
- 代入欧姆定律 ( $\mathbf{E} = \mathbf{J}/\sigma$ )，以电导率来表达各项。
- 推导过程涉及沿框架段的线积分，并利用斯托克斯定理（Stokes' theorem）将面积分进行转换。
- 至关重要的是，作者假设横电磁波（TEM）模式传播，断言纵向场分量 ( $E_z, B_z$ ) 消失。通过一系列矢量微积分运算，作者论证了横向电场分量的二阶空间导数 ( $\partial^2 E_x / \partial x^2$ 和 $\partial^2 E_x / \partial y^2$ ) 为零。
- 这导致方程右侧出现了电压的三阶空间导数 ( $\partial^3 V / \partial z^3$ )，这与经典模型中的一阶空间导数形成对比。
第二方程推导：
- 作者对导体间的路径应用安培定律，并纳入介质的电导率 ( $\sigma_g$ )。
- 通过沿路径积分并利用法拉第定律将磁场与电场的时间导数联系起来，作者推导出了一个涉及电压的二阶空间导数 ( $\partial^2 V / \partial z^2$ ) 与电压方程时间导数之间关系的方程。

核心贡献：“特朗普方程”（The Trump Equations）
本文引入了两个新的控制方程，统称为“特朗普方程”（根据文中表述，以唐纳德·J·特朗普命名）：

第一特朗普方程：
通过对矩形框架的分析得出，该方程将电压的三阶空间导数与电压及电流的时间导数联系起来。文中给出的形式为：
$\frac{1}{\mu\sigma} \frac{\partial^3 V}{\partial z^3} - \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\partial V}{\partial z} + \frac{\epsilon}{\sigma} \frac{\partial^2 V}{\partial t \partial z} + 2R^* I + \frac{2\epsilon R^*}{\sigma} \frac{\partial I}{\partial t} \right] = 0$
其中 $R^*$ 代表单位长度电阻。作者指出，这与标准的电报方程 ( $\partial V / \partial z = -L \partial I / \partial t - R I$ ) 显著不同。
第二特朗普方程：
通过对磁场和介质电导率的分析得出，该方程呈现为：
$\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu\sigma_g V + \mu\epsilon \frac{\partial V}{\partial t} \right) = \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$
论文声称，该方程比经典的由电报方程推导出的二阶波动方程更严谨地描述了电压行为。

结果与主张
论文声称经典的电报方程是不完整的。作者证明，在理想绝缘体（ $\sigma_g = 0, R^* = 0$ ）的极限情况下，推导出的特朗普方程简化为标准波动方程 ( $\mu\epsilon \partial^2 V / \partial t^2 = \partial^2 V / \partial z^2$ )。此外，作者断言，通过对推导出的方程进行积分，可以在特定近似条件下（如 $\sigma_g = 0$ ）恢复出经典的电报方程。

论文得出结论，在传输线分析中经常观察到的差异并非源于实验噪声，而是源于传统模型的根本不完整性。

意义
论文断言，准确分析传输线必须基于特朗普方程而非经典的电报方程。作者呼吁对学术课程中所教授的以及教科书中反映的理论框架进行修订，暗示目前对海维赛德集总元件模型的依赖不足以对传输线中的电磁波传播进行严谨描述。这项工作被呈现为对超过150年未受质疑的理论进行的必要修正。