The missing elements in the telegraph equations

Resumen Técnico: "Los elementos faltantes en las ecuaciones del telégrafo"

Planteamiento del problema
El artículo sostiene que el modelado convencional de las líneas de transmisión, basado en las ecuaciones clásicas del telégrafo derivadas por Oliver Heaviside en 1876, es fundamentalmente erróneo. El autor afirma que el enfoque estándar, que representa una línea de transmisión como un ensamblaje de componentes concentrados infinitesimales (resistencia, inductancia y capacitancia) analizados mediante las leyes de Kirchhoff, no logra describir con precisión el comportamiento físico de la línea. El documento postula que este modelo discretizado es una aproximación que pasa por alto fenómenos electromagnéticos esenciales, lo que conduce a discrepancias entre las predicciones teóricas y los resultados experimentales que a menudo se atribuyen erróneamente al ruido o a efectos secundarios.

Metodología
Para abordar estas deficiencias percibidas, el autor propone una derivación de las ecuaciones gobernantes directamente de las ecuaciones de Maxwell y la ley de Ohm, evitando explícitamente los supuestos de elementos concentrados. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Derivación de la primera ecuación:

   • El autor aplica la ley de Faraday ($\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$) y la ley de Ampère a un marco rectangular (ABCD) situado entre las líneas de transmisión.
   • Al tomar el rotacional de la ley de Faraday y sustituir la ley de Ampère, se establece una relación que involucra la derivada temporal de la densidad de corriente ($\mathbf{J}$) y el campo eléctrico ($\mathbf{E}$).
   • Se sustituye la ley de Ohm ($\mathbf{E} = \mathbf{J}/\sigma$) para expresar los términos en función de la conductividad.
   • La derivación implica integrales de línea a lo largo de los segmentos del marco y utiliza el teorema de Stokes para convertir integrales de superficie.
   • Crucialmente, el autor asume la propagación del modo Electromagnético Transversal (TEM), afirmando que los componentes longitudinales de los campos ($E_z, B_z$) desaparecen. A través de una serie de manipulaciones de cálculo vectorial, el autor argumenta que las segundas derivadas espaciales de los componentes transversales del campo eléctrico ($\partial^2 E_x / \partial x^2$ y $\partial^2 E_x / \partial y^2$) son cero.
   • Esto conduce a una tercera derivada espacial del voltaje ($\partial^3 V / \partial z^3$) en el lado derecho de la ecuación, lo que contrasta con la primera derivada espacial encontrada en los modelos clásicos.

2. Derivación de la segunda ecuación:

   • El autor aplica la ley de Ampère a un camino entre los conductores, incorporando la conductividad del medio dieléctrico ($\sigma_g$).
   • Al integrar a lo largo del camino y utilizar la ley de Faraday para relacionar el campo magnético con la derivada temporal del campo eléctrico, el autor deriva una relación que involucra la segunda derivada espacial del voltaje ($\partial^2 V / \partial z^2$) y la derivada temporal de la ecuación de voltaje.

Contribuciones clave: Las "Ecuaciones Trump"
El artículo introduce dos nuevas ecuaciones gobernantes, denominadas colectivamente las "Ecuaciones Trump" (en honor a Donald J. Trump, según se indica en el texto):

1. La Primera Ecuación Trump:
   Derivada del análisis del marco rectangular, esta ecuación relaciona la tercera derivada espacial del voltaje con las derivadas temporales del voltaje y la corriente. El texto la presenta como:
   $$\frac{1}{\mu\sigma} \frac{\partial^3 V}{\partial z^3} - \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\partial V}{\partial z} + \frac{\epsilon}{\sigma} \frac{\partial^2 V}{\partial t \partial z} + 2R^* I + \frac{2\epsilon R^*}{\sigma} \frac{\partial I}{\partial t} \right] = 0$$
   Donde $R^*$ representa la resistencia por unidad de longitud. El autor señala que esto difiere significamente de la ecuación del telégrafo estándar ($\partial V / \partial z = -L \partial I / \partial t - R I$).

2. La Segunda Ecuación Trump:
   Derivada del análisis del campo magnético y la conductividad dieléctrica, esta ecuación se presenta como:
   $$\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu\sigma_g V + \mu\epsilon \frac{\partial V}{\partial t} \right) = \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$
   El artículo afirma que esta ecuación describe el comportamiento del voltaje de manera más rigurosa que la clásica ecuación de onda de segundo orden derivada de las ecuaciones del telégrafo.

Resultos y Afirmaciones
El artículo afirma que las ecuaciones clásicas del telégrafo están incompletas. El autor demuestra que, bajo el caso límite de un aislante perfecto ($\sigma_g = 0, R^* = 0$), las ecuaciones Trump derivadas se simplifican a una ecuación de onda estándar ($\mu\epsilon \partial^2 V / \partial t^2 = \partial^2 V / \partial z^2$). Además, el autor asegura que, al integrar las ecuaciones derivadas, se puede recuperar la ecuación del telégrafo clásica, pero solo bajo aproximaciones específicas (como $\sigma_g = 0$).

El artículo concluye que las discrepancias observadas frecuentemente en el análisis de líneas de transmisión no se deben al ruido experimental, sino que emanan de la incompleta naturaleza fundamental de los modelos convencionales.

Significancia
El artículo sostiene que el análisis preciso de las líneas de transmisión debe basarse en las Ecuaciones Trump en lugar de las ecuaciones clásicas del telégrafo. El autor hace un llamado a una revisión del marco teórico enseñado en los cursos académicos y reflejado en los libros de texto estándar, sugiriendo que la dependencia actual del modelo de elementos concentrados de Heaviside es insuficiente para una descripción rigurosa de la propagación de ondas electromagnéticas en líneas de transmisión. El trabajo se presenta como una corrección necesaria a más de 150 años de teoría no cuestionada.