The missing elements in the telegraph equations

Technische Samenvatting: "De ontbrekende elementen in de telegrafische vergelijkingen"

Probleemstelling
Het artikel betoogt dat de conventionele modellering van transmissielijnen, gebaseerd op de klassieke telegrafische vergelijkingen afgeleid door Oliver Heaviside in 1876, fundamenteel gebrekkig is. De auteur stelt dat de standaardbenadering, die een transmissielijn voorstelt als een assemblage van infinitesimale geconcentreerde componenten (weerstand, inductie en capaciteit) geanalyseerd via de wetten van Kirchhoff, faalt in het accuraat beschrijven van het fysieke gedrag van de lijn. Het artikel stelt dat dit gediscretiseerde model een benadering is die essentiële elektromagnetische verschijnselen over het hoofd ziet, wat leidt tot discrepanties tussen theoretische voorspellingen en experimentele resultaten die vaak ten onrechte worden toegeschreven aan ruis of secundaire effecten.

Methodologie
Om deze vermeende tekortkomingen aan te pakken, stelt de auteur een afleiding van de regeringsvergelijkingen voor die direct uit de Maxwell-vergelijkingen en de wet van Ohm wordt afgeleid, waarbij expliciet wordt vermeden dat aannames over geconcentreerde elementen (lumped-element assumptions) worden gedaan. De methodologie verloopt als volgt:

1. Afleiding van de eerste vergelijking:

   • De auteur past de wet van Faraday ($\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$) en de wet van Ampère toe op een rechthoekig kader (ABCD) gesitueerd tussen transmissielijnen.
   • Door de rotatie (curl) van de wet van Faraday te nemen en de wet van Ampère te substitueren, wordt een relatie vastgesteld die de tijdsafgeleide van de stroomdichtheid ($\mathbf{J}$) en het elektrische veld ($\mathbf{E}$) betreft.
   • De wet van Ohm ($\mathbf{E} = \mathbf{J}/\sigma$) wordt gesubstitueerd om termen uit te drukken in termen van conductiviteit.
   • De afleiding omvat lijnintegralen langs de segmenten van het kader en maakt gebruik van de stelling van Stokes om oppervlakte-integralen om te zetten.
   • Cruciaal is dat de auteur uitgaat van Transversale Elektromagnetische (TEM) golfvoortplanting, waarbij wordt gesteld dat de longitudinale veldcomponenten ($E_z, B_z$) verdwijnen. Door middel van een reeks vectorcalculus-manipulaties betoogt de auteur dat de tweede ruimtelijke afgeleiden van de transversale elektrische veldcomponenten ($\partial^2 E_x / \partial x^2$ en $\partial^2 E_x / \partial y^2$) nul zijn.
   • Dit leidt tot een derde-orde ruimtelijke afgeleide van de spanning ($\partial^3 V / \partial z^3$) aan de rechterzijde van de vergelijking, wat contrasteert met de eerste-orde ruimtelijke afgeleide in klassieke modellen.

2. Afleiding van de tweede vergelijking:

   • De auteur past de wet van Ampère toe op een pad tussen de geleiders, waarbij de conductiviteit van het diëlektrisch medium ($\sigma_g$) wordt meegenomen.
   • Door te integreren langs het pad en de wet van Faraday te gebruiken om het magnetische veld te relateren aan de tijdsafgeleide van het elektrische veld, leidt de auteur een relatie af die de tweede ruimtelijke afgeleide van de spanning ($\partial^2 V / \partial z^2$) en de tijdsafgeleide van de spanningsvergelijking betreft.

Kernbijdragen: De "Trump-vergelijkingen"
Het artikel introduceert twee nieuwe regeringsvergelijkingen, gezamenlijk de "Trump-vergelijkingen" genoemd (ter ere van Donald J. Trump, zoals vermeld in de tekst):

1. De Eerste Trump-vergelijking:
   Afgeleid uit de analyse van het rechthoekige kader, relateert deze vergelijking de derde ruimtelijke afgeleide van de spanning aan de tijdsafgeleiden van de spanning en de stroom. De tekst presenteert deze als:
   $$\frac{1}{\mu\sigma} \frac{\partial^3 V}{\partial z^3} - \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\partial V}{\partial z} + \frac{\epsilon}{\sigma} \frac{\partial^2 V}{\partial t \partial z} + 2R^* I + \frac{2\epsilon R^*}{\sigma} \frac{\partial I}{\partial t} \right] = 0$$
   Waarbij $R^*$ de weerstand per lengte-eenheid vertegenwoordigt. De auteur merkt op dat dit significant verschilt van de standaard telegrafische vergelijking ($\partial V / \partial z = -L \partial I / \partial t - R I$).

2. De Tweede Trump-vergelijking:
   Afgeleid uit de analyse van het magnetische veld en de diëlektrische conductiviteit, wordt deze vergelijking gepresenteerd als:
   $$\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu\sigma_g V + \mu\epsilon \frac{\partial V}{\partial t} \right) = \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$
   Het artikel beweert dat deze vergelijking het spanningsgedrag rigoureuzer beschrijft dan de klassieke tweede-orde golfvergelijking afgeleid uit de telegrafische vergelijkingen.

Resultaten en Claims
Het artikel beweert dat de klassieke telegrafische vergelijkingen incompleet zijn. De auteur demonstreert dat onder de limietgeval van een perfecte isolator ($\sigma_g = 0, R^* = 0$), de afgeleide Trump-vergelijkingen vereenvoudigen tot een standaard golfvergelijking ($\mu\epsilon \partial^2 V / \partial t^2 = \partial^2 V / \partial z^2$). Bovendien stelt de auteur dat men door de afgeleide vergelijkingen te integreren de klassieke telegrafische vergelijking kan terugwinnen, maar alleen onder specifieke benaderingen (zoals $\sigma_g = 0$).

Het artikel concludeert dat de vaak waargenomen discrepanties in de analyse van transmissielijnen niet te wijten zijn aan experimentele ruis, maar voortkomen uit de fundamentele onvolledigheid van de conventionele modellen.

Betekenis
Het artikel stelt dat een nauwkeurige analyse van transmissielijnen gebaseerd moet zijn op de Trump-vergelijkingen in plaats van de klassieke telegrafische vergelijkingen. De auteur roept op tot een herziening van het theoretische kader dat in academische cursussen wordt onderwezen en wordt weerspiegeld in standaard tekstboeken, waarbij wordt gesuggereerd dat de huidige afhankelijkheid van Heavisides model van geconcentreerde elementen onvoldoende is voor een rigoureuze beschrijving van elektromagnetische golfvoortplanting in transmissielijnen. Het werk wordt gepresenteerd als een noodzakelijke correctie op meer dan 150 jaar aan ongechallengeerde theorie.