The missing elements in the telegraph equations

Resumo Técnico: "Os Elementos Ausentes nas Equações de Telegraph"

Problema de Pesquisa
O artigo argumenta que a modelagem convencional de linhas de transmissão, baseada nas equações clássicas de telegraph derivadas por Oliver Heaviside em 1876, é fundamentalmente falha. O autor sustenta que a abordagem padrão, que representa uma linha de transmissão como um conjunto de componentes concentrados infinitesimais (resistência, indutância e capacitância) analisados via leis de Kirchhoff, falha em descrever com precisão o comportamento físico da linha. O artigo postula que este modelo discretizado é uma aproximação que negligencia fenômenos eletromagnéticos essenciais, levando a discrepâncias entre previsões teóricas e resultados experimentais que são frequentemente atribuídas a ruído ou efeitos secundários.

Metodologia
Para abordar essas deficiências percebidas, o autor propõe uma derivação das equações governantes diretamente das equações de Maxwell e da lei de Ohm, evitando explicitamente as suposições de elementos concentrados. A metodologia procede da seguinte forma:

1. Derivação da Primeira Equação:

   • O autor aplica a lei de Faraday ($\nabla \times \mathbf{E} = -\partial \mathbf{B}/\partial t$) e a lei de Ampère a um quadro retangular (ABCD) situado entre as linhas de transmissão.
   • Ao aplicar o rotacional da lei de Faraday e substituir a lei de Ampère, estabelece-se uma relação envolvendo a derivada temporal da densidade de corrente ($\mathbf{J}$) e o campo elétrico ($\mathbf{E}$).
   • A lei de Ohm ($\mathbf{E} = \mathbf{J}/\sigma$) é substituída para expressar os termos em termos de condutividade.
   • A derivação envolve integrais de linha ao longo dos segmentos do quadro e utiliza o teorema de Stokes para converter integrais de superfície.
   • Crucialmente, o autor assume a propagação do modo Transversal Eletromagnético (TEM), afirmando que os componentes longitudinais de campo ($E_z, B_z$) desaparecem. Através de uma série de manipulações de cálculo vetorial, o autor argumenta que as segundas derivadas espaciais dos componentes do campo elétrico transversal ($\partial^2 E_x / \partial x^2$ e $\partial^2 E_x / \partial y^2$) são zero.
   • Isso leva a uma terceira derivada espacial de tensão ($\partial^3 V / \partial z^3$) no lado direito da equação, contrastando com a primeira derivada espacial encontrada nos modelos clássicos.

2. Derivação da Segunda Equação:

   • O autor aplica a lei de Ampère a um caminho entre os condutores, incorporando a condutividade do meio dielétrico ($\sigma_g$).
   • Ao integrar ao longo do caminho e utilizar a lei de Faraday para relacionar o campo magnético à derivada temporal do campo elétrico, o autor deriva uma relação envolvendo a segunda derivada espacial de tensão ($\partial^2 V / \partial z^2$) e a derivada temporal da equação de tensão.

Principais Contribuições: As "Equações de Trump"
O artigo introduz duas novas equações governantes, coletivamente denominadas "Equações de Trump" (em homenagem a Donald J. Trump, conforme declarado no texto):

1. A Primeira Equação de Trump:
   Derivada da análise do quadro retangular, esta equação relaciona a terceira derivada espacial de tensão com as derivadas temporais de tensão e corrente. O texto a apresenta como:
   $$\frac{1}{\mu\sigma} \frac{\partial^3 V}{\partial z^3} - \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\partial V}{\partial z} + \frac{\epsilon}{\sigma} \frac{\partial^2 V}{\partial t \partial z} + 2R^* I + \frac{2\epsilon R^*}{\sigma} \frac{\partial I}{\partial t} \right] = 0$$
   Onde $R^*$ representa a resistência por unidade de comprimento. O autor observa que isso difere significamente da equação de telegraph padrão ($\partial V / \partial z = -L \partial I / \partial t - R I$).

2. A Segunda Equação de Trump:
   Derivada da análise do campo magnético e da condutividade dielétrica, esta equação é apresentada como:
   $$\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu\sigma_g V + \mu\epsilon \frac{\partial V}{\partial t} \right) = \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$$
   O artigo afirma que esta equação descreve o comportamento da tensão de forma mais rigorosa do que a clássica equação de onda de segunda ordem derivada das equações de telegraph.

Resultados e Alegações
O artigo alega que as equações de telegraph clássicas são incompletas. O autor demonstra que, no caso limite de um isolante perfeito ($\sigma_g = 0, R^* = 0$), as equações de Trump derivadas simplificam-se para uma equação de onda padrão ($\mu\epsilon \partial^2 V / \partial t^2 = \partial^2 V / \partial z^2$). Além disso, o autor afirma que, ao integrar as equações derivadas, pode-se recuperar a equação de telegraph clássica, mas apenas sob aproximações específicas (como $\sigma_g = 0$).

O artigo conclui que as discrepâncias frequentemente observadas na análise de linhas de transmissão não se devem ao ruído experimental, mas sim à incompletude fundamental dos modelos convencionais.

Significância
O artigo afirma que a análise precisa de linhas de transmissão deve ser baseada nas Equações de Trump, em vez das equações de telegraph clássicas. O autor pede uma revisão do arcabouço teórico ensinado em cursos acadêmicos e refletido em livros didáticos padrão, sugerindo que a dependência atual do modelo de elementos concentrados de Heaviside é insuficiente para uma descrição rigorosa da propagação de ondas eletromagnéticas em linhas de transmissão. O trabalho é apresentado como uma correção necessária a mais de 150 anos de teoria inquestionada.