Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height

Sintesi Tecnica: Conteggio delle Curve Ellittiche su $\mathbb{Q}$ con Altezza Naive Limitata

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta il problema del conteggio delle curve ellittiche sui numeri razionali $\mathbb{Q}$, ordinate secondo la loro "altezza naive". Nello specifico, gli autori considerano curve in forma di Weierstrass breve $E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$ con coefficienti interi $A, B \in \mathbb{Z}$. Lo studio si concentra su due normalizzazioni primarie dell'altezza naive ampiamente utilizzate nella statistica aritmetica: l'altezza naive calibrata, $H_{\text{cal}}(E_{A,B}) := \max\{4|A|^3, 27B^2\}$, e l'altezza naive non calibrata, $H_{\text{ncal}}(E_{A,B}) := \max\{|A|^3, B^2\}$.

Gli autori mirano a fornire formule esatte e asintotiche per il numero di tali curve entro un limite di altezza $X$ attraverso diverse famiglie:

1. La famiglia globale di tutte le curve (sia modelli minimi che non minimi).
2. Sottofamiglie con un invariante $j$ fissato.
3. Sottofamiglie di curve con Moltiplicazione Complessa (CM).

Una sfida specifica affrontata è la distribuzione delle curve con invarianti $j$ fissi $j \in \mathbbmathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$. Lavori precedenti (ad es. [BSCM25]) avevano stabilito formule asintotiche per $j=0$ e $j=1728$, ma potevano fornire solo un limite superiore di $O(X^{1/6})$ per altri invarianti $j$ razionali.

Metodologia
Gli autori unificano il trattamento delle altezze calibrate e non calibrate introducendo un'altezza naive generalizzata $H_{\alpha,\beta}(E_{A,B}) := \max\{\alpha|A|^3, \beta B^2\}$ per parametri reali arbitrari $\alpha, \beta \ge 1$.

I principali contributi metodologici riguardano:

1. Parametrizzazione delle Famiglie con Invariante $j$ Fissato: Gli autori derivano una parametrizzazione completamente esplicita per la famiglia di curve $E_{A,B}$ con un invariante $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$ fissato. Essi dimostrano che queste curve corrispondono a punti interi su una curva cubica cuspidale $y^2 = a(j)x^3$, dove $a(j) = \frac{4(1728-j)}{27j}$.
2. Punti Interi su Cubiche Cuspidali: Uno strumento tecnico chiave è la Proposizione 3.1, che fornisce una formula esatta per il numero di punti interi su una cubica cuspidale all'interno di una scatola rettangolare. Ciò si basa su una biiezione tra l'insieme dei punti interi e un insieme scalato di interi $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$.
3. Decomposizione per Twist: Gli autori utilizzano la decomposizione della famiglia di tutte le curve $\tilde{E}$ nei twist dei modelli minimi $E$. Nello specifico, ogni curva $E_{A',B'}$ può essere scritta unicamente come $d * E_{A,B}$ (dove $d$ è un intero e $E_{A,B}$ è un modello minimo) tale che l'altezza scala per $d^{12}$. Ciò consente l'uso dell'inversione di Möbius per relazionare il conteggio di tutte le curve al conteggio dei modelli minimi (classi di isomorfismo).
4. Analisi Asintotica: Combinando i conteggi esatti dei punti interi con la densità degli interi privi di quadrati (tramite la funzione di Möbius) e degli interi $k$-liberi, gli autori derivano espansioni asintotiche precise, inclusi i termini di errore.

Contributi Chiave e Risultati

• Formule di Conteggio Globale: Il documento fornisce formule esatte e asintotiche per il numero totale di curve nelle famiglie $\tilde{E}$ (tutti i modelli integrali) ed $E$ (modelli minimi) ordinati per $H_{\alpha,\beta}$.

  • Per i modelli minimi, il conteggio asintotico è $\frac{4}{\alpha^{1/3}\beta^{1/2}\zeta(10)}X^{5/6} + O(X^{1/2})$.
  • Questo unifica ed estende i risultati precedenti di Brumer (per l'altezza non calibrata) e Poonen/Balakrishnan et al. (per l'altezza calibrata).

• Formule per l'Invariante $j$ Fisso: Gli autori forniscono il primo termine principale asintotico esplicito per le curve con un invariante $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$ fissato.

  • Dimostrano che il numero di modelli minimi è $\frac{2c(j; H_{\alpha,\beta})}{\zeta(2)}X^{1/6} + O(X^{1/12})$, dove $c(j; H_{\alpha,\beta})$ è una costante esplicita dipendente da $j$ e dalla normalizzazione dell'altezza.
  • Questo migliora il precedente limite $O(X^{1/6})$, fornendo un coefficiente principale computabile.
  • Per $j=0$ e $j=1728$, le formule sono raffinate per includere costanti esplicite e termini di errore $O(X^{1/12})$.

• Conteggi della Moltiplicazione Complessa (CM): Sommando i risultati su tutti i tredici invarianti $j$ CM noti, gli autori derivano formule esatte e asintotiche per il numero di curve ellittiche CM.

  • L'espansione asintotica per i modelli minimi CM include tre termini: $O(X^{1/2})$ (da $j=0$), $O(X^{1/3})$ (da $j=1728$) e $O(X^{1/6})$ (da altri invarianti $j$ CM).
  • Il documento calcola esplicitamente la costante per il termine $X^{1/6}$, denotata $K(\alpha, \beta)$.

• Parametrizzazione Esplicita e Modelli Minimi: Il documento fornisce una parametrizzazione costruttiva $A(m), B(m)$ per tutte le curve con un invariante $j$ fissato. Questa parametrizzazione identifica le due curve di minima altezza naive (corrispondenti a $m = \pm 1$) e descrive tutte le altre curve nella famiglia come twist quadratici di questi modelli minimi.

  • Esempio: Per l'ordine CM con discriminante $-163$, le curve di altezza minima hanno un'altezza calibrata di circa $2.63 \times 10^{21}$. Questo spiega perché precedenti ricerche esaustive al computer fino a $10^{10}$ non hanno trovato tali curve.

• Densità Asintotica: Il documento calcola la densità asintotica dei modelli minimi all'interno dell'insieme di tutti i modelli integrali.

  • Per la famiglia globale, la densità è $1/\zeta(10) \approx 99.9\%$.
  • Per gli invarianti $j$ fissi ($j \neq 0, 1728$), la densità è $1/\zeta(2) \approx 60.8\%$.

Verifica e Dati
Gli autori verificano le loro formule teoriche rispetto a ricerche esaustive al computer per piccoli limiti di altezza. Forniscono inoltre estesi dati numerici per le curve CM fino a un'altezza di $10^{30}$, calcolati utilizzando le loro formule esatte piuttosto che l'enumerazione brute-force. Questi dati includono tabelle dei rappresentanti di minima altezza per tutti i tredici invarianti $j$ CM e conteggi di curve per vari limiti di altezza.

Significatività
Il documento rivendica significatività nel fornire un quadro unificato per il conteggio delle curve ellittiche sotto diverse normalizzazioni dell'altezza. Il suo principale avanzamento teorico è la derivazione di formule asintotiche esplicite per le curve con invarianti $j$ fissi (escludendo 0 e 1728), un problema precedentemente limitato a limiti superiori. Inoltre, la parametrizzazione esplicita delle famiglie a invariante $j$ fisso permette l'identificazione dei modelli minimi e spiega le discrepanze tra le previsioni teoriche e le ricerche computazionali per le curve CM ad alta altezza. L'inclusione del codice SageMath e di estese tabelle numeriche serve come complemento computazionale ai risultati teorici, facilitando ulteriori ricerche nella statistica aritmetica.