Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height

기술 요약: 유한한 나이브 높이(Naive Height)를 가진 유리수체 $\mathbb{Q}$ 상의 타원 곡선 계수

문제 정의
본 논문은 "나이브 높이"에 의해 정렬된 유리수 $\mathbb{Q}$ 상의 타원 곡선을 계수하는 문제를 다룬다. 저자들은 정수 계수 $A, B \in \mathbb{Z}$를 갖는 짧은 베이어슈트라스 형식(short Weierstrass form) $E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$의 곡선들을 고려한다. 연구는 산술 통계학에서 널리 사용되는 두 가지 주요 나이브 높이 정규화에 초점을 맞춘다: 교정된(calibrated) 나이브 높이 $H_{\text{cal}}(E_{A,B}) := \max\{4|A|^3, 27B^2\}$와 비교정된(uncalibrated) 나이브 높이 $H_{\text{ncal}}(E_{A,B}) := \max\{|A|^3, B^2\}$이다.

저자들은 다음과 같은 여러 가계(family)에 대해 높이 경계 $X$ 내에 존재하는 곡선들의 개수에 대한 정확한 식과 점근식을 제공하고자 한다:

1. 모든 곡선(최소 모델 및 비최소 모델 모두 포함)을 포함하는 전역 가계.
2. 고정된 $j$-불변량(j-invariant)을 갖는 부분 가계.
3. 복소 곱셈(Complex Multiplication, CM)을 갖는 곡선의 부분 가계.

구체적으로 $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$인 고정된 $j$-불변량을 갖는 곡들의 분포 문제는 핵심적인 과제이다. 이전 연구(예: [BSCM25])는 $j=0$ 및 $j=1728$인 경우의 점근식을 확립했으나, 다른 유리수 $j$-불변량에 대해서는 $O(X^{1/6})$의 상한만을 제공할 수 있었다.

방법론
저자들은 임의의 실수 파라미터 $\alpha, \beta \ge 1$에 대해 일반화된 나이브 높이 $H_{\alpha,\beta}(E_{A,B}) := \max\{\alpha|A|^3, \beta B^2\}$를 도입함으로써 교정된 높이와 비교정된 높이의 처리를 통합한다.

핵심적인 방법론적 기여는 다음과 같다:

1. 고정된 $j$-불변량 가계의 매개변수화: 저자들은 고정된 $j$-불변량 $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$를 갖는 곡선 가계 $E_{A,B}$에 대한 완전히 명시적인 매개변수화를 도출한다. 이들은 이 곡선들이 꼬리 모양의 큐빅 곡선(cuspidal cubic curve) $y^2 = a(j)x^3$ (여기서 $a(j) = \frac{4(1728-j)}{27j}$) 위의 정수점들에 대응함을 보여준다.
2. 꼬리 모양 큐빅 상의 정수점: 핵심적인 기술적 도구는 직사각형 상자 내의 꼬리 모양 큐빅 상의 정수점의 개수를 제공하는 제3.1절의 명제이다. 이는 정수점 집합과 스케일링된 정수 집합 $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ 사이의 전단사(bijection)에 기초한다.
3. 트위스트 분해(Twist Decomposition): 저자들은 모든 곡선 $\tilde{E}$를 최소 모델 $E$의 트위스트들로 분해하는 방식을 활용한다. 구체적으로, 모든 곡선 $E_{A',B'}$는 $d * E_{A,B}$ (여기서 $d$는 정수이고 $E_{A,B}$는 최소 모델임)로 유일하게 쓸 수 있으며, 이때 높이는 $d^{12}$에 의해 스케일링된다. 이를 통해 모든 곡선의 개수와 최소 모델(동형류)의 개수 사이의 관계를 맺기 위해 뫼비우스 반전(Möbius inversion)을 사용할 수 있다.
4. 점근 분석: 정수점의 정확한 개수 계산과 스퀘어 프리(square-free) 정수의 밀도(뫼비우스 함수를 통해) 및 $k$-free 정수의 밀도를 결려하여, 오차항을 포함한 정밀한 점근 전개를 도출한다.

주요 기여 및 결과

• 전역 계수 공식: 본 논문은 $H_{\alpha,\beta}$에 의해 정렬된 가계 $\tilde{E}$(모든 정수 모델)와 $E$(최소 모델)에 대한 총 곡선 수의 정확한 식과 점근식을 제공한다.

  • 최소 모델의 경우, 점근적 계수는 $\frac{4}{\alpha^{1/3}\beta^{1/2}\zeta(10)}X^{5/6} + O(X^{1/2})$이다.
  • 이는 브루머(Brumer, 비교정 높이 대상)와 푸넨(Poonen)/발라킬리슨(Balakrishnan) 등의 연구(교정 높이 대상)를 통합하고 확장한다.

• 고정된 $j$-불변량 공식: 저자들은 $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$인 고정된 $j$-불변량을 갖는 곡선들에 대한 최초의 명시적인 점근 주항(asymptotic main term)을 제공한다.

  • 그들은 최소 모델의 개수가 $\frac{2c(j; H_{\alpha,\beta})}{\zeta(2)}X^{1/6} + O(X^{1/12})$임을 증명하며, 여기서 $c(j; H_{\alpha,\beta})$는 $j$와 높이 정규화에 의존하는 명시적인 상수이다.
  • 이는 이전의 $O(X^{1/6})$ 상한을 개선하여 계산 가능한 리딩 계수(leading coefficient)를 제공한다.
  • $j=0$ 및 $j=1728$의 경우, 명시적인 상수와 오차항 $O(X^{1/12})$를 포함하여 공식이 정교화된다.

• 복소 곱셈(CM) 계수: 알려진 13개의 CM $j$-불변량에 대해 결과를 합산함으로써, 저자들은 CM 타원 곡선의 개수에 대한 정확한 식과 점근식을 도출한다.

  • 최소 CM 모델의 점근 전개는 세 개의 항을 포함한다: $O(X^{1/2})$ ($j=0$으로부터), $O(X^{1/3})$ ($j=1728$로부터), 그리고 $O(X^{1/6})$ (다른 CM $j$-불변량들로부터).
  • 논문은 $X^{1/6}$ 항의 상수를 명시적으로 계산하며, 이를 K(\alpha, \beta})로 표기한다.

• 명시적 매개변수화 및 최소 모델: 논문은 고정된 $j$-불변량을 갖는 모든 곡선에 대한 구성적 매개변수화 $A(m), B(m)$를 제공한다. 이 매개변수화는 최소 나이브 높이를 갖는 두 곡선($m = \pm 1$에 대응)을 식별하고, 해당 가계의 다른 모든 곡선들을 이 최소 모델들의 이차 트위스트(quadratic twists)로 설명한다.

  • 예시: 판별식이 $-163$인 CM 오더(order)의 경우, 최소 높이 곡선들의 교정된 높이는 약 $2.63 \times 10^{21}$이다. 이는 왜 기존의 $10^{10}$까지의 전수 조사 컴퓨터 탐색에서 이러한 곡선들이 발견되지 않았는지를 설명해 준다.

• 점근 밀도: 저자들은 최소 모델의 집합 내에서의 최소 모델의 점근 밀도를 계산한다.

  • 전역 가계의 경우, 밀도는 $1/\zeta(10) \approx 99.9\%$이다.
  • 고정된 $j$-불변량의 경우 ($j \neq 0, 1728$), 밀도는 $1/\zeta(2) \approx 60.8\%$이다.

검증 및 데이터
저자들은 작은 높이 경계에 대한 전수 조사 컴퓨터 탐색을 통해 이론적 공식을 검증한다. 또한, 브루트 포스(brute-force) 열거가 아닌 그들의 정확한 공식을 사용하여 계산된 $10^{30}$ 높이까지의 CM 곡선에 대한 광범위한 수치 데이터를 제공한다. 이 데이터에는 13개의 모든 CM $j$-불변량에 대한 최소 높이 대표자 테이블과 다양한 높이 경계에 대한 곡선 개수가 포함되어 있다.

의의
본 논문은 서로 다른 높이 정규화 하에서 타원 곡선을 계수하기 위한 통합된 프레임워크를 제공한다는 점에서 의의를 갖는다. 주요 이론적 진보는 $j=0$ 및 $j=1728$을 제외한 고정된 $j$-불변량을 갖는 곡선들에 대한 명시적 점근식을 도출한 것이며, 이는 이전에는 상한에 머물러 있던 문제였다. 또한, 고정된 $j$-불변량 가계에 대한 명시적 매개변수화는 최소 모델을 식별할 수 있게 하며, 높은 높이의 CM 곡선에 대한 이론적 예측과 계산 탐색 사이의 불일치를 설명해 준다. SageMath 코드와 광범위한 수치 테이블의 포함은 이론적 결과에 대한 계산적 보완 역할을 하며, 산술 통계학 분야의 추가 연구를 용이하게 한다.