Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height

技术摘要：统计具有有界朴素高度的有理数域上的椭圆曲线

问题陈述
本文研究了按其“朴素高度”排序的有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线计数问题。具体而言，作者考虑了短 Weierstrass 形式 $E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$，其中整数系数 $A, B \in \mathbb{Z}$。研究重点关注了在算术统计中广泛使用的两种朴素高度归一化方式：校准型（calibrated）朴素高度 $H_{\text{cal}}(E_{A,B}) := \max\{4|A|^3, 27B^2\}$，以及非校准型（uncalibrated）朴素高度 $H_{\text{ncal}}(E_{A,B}) := \max\{|A|^3, B^2\}$。

作者旨在为几种族提供关于高度界 $X$ 的精确公式和渐近公式：

1. 全局族，即所有此类曲线（包括极小模型和非极小模型）。
2. 固定 $j$-不变量的子族。
3. 具有复乘（CM）性质的曲线子族。

一个特别需要解决的挑战是对于固定 $j$-不变量且 $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$ 的曲线族的分布。以往的工作（例如 [BSCM25]）虽然已经建立了 $j=0$ 和 $j=1728$ 时的渐近公式，但对于其他有理 $j$-不变量，仅能提供 $O(X^{1/6})$ 的上界。

方法论
作者通过引入广义朴素高度 $H_{\alpha,\beta}(E_{A,B}) := \max\{\alpha|A|^3, \beta B^2\}$（其中 $\alpha, \beta \ge 1$ 为任意实参数），统一了处理校准型和非校准型高度的方法。

其核心方法论贡献包括：

1. 固定 $j$-不变量族的参数化：作者为固定 $j$-不变量 $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$ 的曲线族 $E_{A,B}$ 推导出了一个完全显式的参数化方案。他们证明了这些曲线对应于尖点三次曲线（cuspidal cubic curve）$y^2 = a(j)x^3$ 上的整点，其中 $a(j) = \frac{4(1728-j)}{27j}$。
2. 尖点三次曲线上的整点：一个关键的技术工具是命题 3.1，该命题提供了矩形区域内尖点三次曲线整点数量的精确公式。这依赖于整点集与缩放后的整数集 $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ 之间的双射关系。
3. 扭转分解（Twist Decomposition）：作者利用将所有曲线族 $\tilde{E}$ 分解为极小模型 $E$ 的扭转（twists）的过程。具体而言，任何曲线 $E_{A',B'}$ 都可以唯一地写为 $d * E_{A,B}$（其中 $d$ 是一个整数，$E_{A,B}$ 是一个极小模型），此时高度按 $d^{12}$ 比例缩放。这使得利用 Möbius 反演来建立从所有曲线计数到极小模型（同构类）计数的联系成为可能。
4. 渐近分析：通过结合整点计数与无平方因子整数的密度（通过 Möbius 函数）以及 $k$-无平方因子整数的性质，作者推导出了精确的渐近展开式，并包含了误差项。

主要贡献与结果

• 全局计数公式：本文提供了在 $H_{\alpha,\beta}$ 排序下，族 $\tilde{E}$（所有整模型）和 $E$（极小模型）的总曲线数量的精确及渐近公式。

  • 对于极小模型，渐近计数为 $\frac{4}{\alpha^{1/3}\beta^{1/2}\zeta(10)}X^{5/6} + O(X^{1/2})$。
  • 这统一并扩展了 Brumer（针对非校准高度）以及 Poonen/Balakrishnan 等人（针对校准高度）的研究结果。

• 固定 $j$-不变量公式：作者首次为固定 $j$-不变量 $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$ 的曲线族提供了显式的渐近主项。

  • 他们证明，极小模型的数量为 $\frac{2c(j; H_{\alpha,\beta})}{\zeta(2)}X^{1/6} + O(X^{1/12})$，其中 $c(j; H_{\alpha,\beta})$ 是取决于 $j$ 和高度归一化的显式常数。
  • 这改进了此前仅有的 $O(X^{1/6})$ 上界，提供了一个可计算的领先系数。
  • 对于 $j=0$ 和 $j=1728$，公式经过精细化处理，包含了显式常数和 $O(X^{1/12})$ 的误差项。

• 复乘（CM）计数：通过对已知的 13 个 CM $j$-不变量进行求和，作者推导出了 CM 椭圆曲线的精确及渐近公式。

  • 极小 CM 模型的渐近展开式包含三项：$O(X^{1/2})$（源自 $j=0$）、$O(X^{1/3})$（源自 $j=1728$）和 $O(X^{1/6})$（源自其他 CM $j$-不变量）。
  • 本文明确计算了 $X^{1/6}$ 项的常数，记作 $K(\alpha, \beta)$。

• 显式参数化与极小模型：本文提供了一个构造性的参数化方案 $A(m), B(m)$，用于描述具有固定 $j$-不变量的所有曲线。该参数化识别了具有极小朴素高度的两条曲线（对应于 $m = \pm 1$），并将该族中的所有其他曲线描述为这些极小模型的二次扭转。

  • 示例：对于判别式为 $-163$ 的 CM 序，其极小高度曲线的校准高度约为 $2.63 \times 10^{21}$。这解释了为什么之前的穷举搜索在高度达到 $10^{10}$ 时仍未发现此类曲线。

• 渐近密度：本文计算了极小模型在所有整模型集合中的渐近密度。

  • 对于全局族，密度为 $1/\zeta(10) \approx 99.9\%$。
  • 对于固定的 $j$-不变量（$j \neq 0, 1728$），密度为 $1/\zeta(2) \approx 60.8\%$。

验证与数据
作者通过针对小高度界的穷举计算机搜索来验证其理论公式。他们还提供了高达 $10^{30}$ 高度的 CM 曲线的广泛数值数据，这些数据是使用其精确公式而非暴力枚举计算得出的。这些数据包括所有 13 个 CM $j$-不变量的极小高度代表表的表格，以及各种高度界下的曲线计数。

意义
本文声称其意义在于为不同高度归一化下的椭圆曲线计数提供了一个统一的框架。其主要的理论进展是推导出了具有固定 $j$-不变量（排除 0 和 1728）的曲线的显式渐近公式，而此前该问题仅限于上界。此外，固定 $j$-不变量族的显式参数化使得识别极小模型成为可能，并解释了理论预测与高高度 CM 曲线计算搜索之间的差异。SageMath 代码的加入以及大量的数值表作为理论结果的计算补充，为后续研究提供了便利。