Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height

Resumo Técnico: Contagem de Curvas Elípticas sobre $\mathbb{Q}$ com Altura Ingênua Limitada

Enunciado do Problema
Este artigo aborda o problema de contar curvas elípticas sobre os números racionais $\mathbb{Q}$, ordenadas pela sua "altura ingênua" (naive height). Especificamente, os autores consideram curvas na forma de Weierstrass curta $E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$ com coeficientes inteiros $A, B \in \mathbb{Z}$. O estudo foca em duas normalizações primárias da altura ingênua amplamente utilizadas em estatística aritmética: a altura ingênua calibrada, $H_{\text{cal}}(E_{A,B}) := \max\{4|A|^3, 27B^2\}$, e a altura ingênua não calibrada, $H_{\text{ncal}}(E_{A,B}) := \max\{|A|^3, B^2\}$.

Os autores visam fornecer fórmulas exatas e assintóticas para o número de tais curvas dentro de um limite de altura $X$ em várias famílias:

1. A família global de todas essas curvas (tanto modelos mínimos quanto não mínimos).
2. Subfamílias com um invariante $j$ fixo.
3. Subfamílias de curvas com Multiplicação Complexa (CM).

Um desafio específico abordado é a distribuição de curvas com invariantes $j$ fixos onde $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$. Trabalhos anteriores (ex: [BSCM25]) haviam estabelecido fórmulas assintóticas para $j=0$ e $j=1728$, mas só conseguiam fornecer um limite superior de $O(X^{1/6})$ para outros invariantes $j$ racionais.

Metodologia
Os autores unificam o tratamento de alturas calibradas e não calibradas introduzindo uma altura ingênua generalizada $H_{\alpha,\beta}(E_{A,B}) := \max\{\alpha|A|^3, \beta B^2\}$ para parâmetros reais arbitrários $\alpha, \beta \ge 1$.

As principais contribuições metodológicas envolvem:

1. Parametrização de Famílias de Invariante $j$ Fixo: Os autores derivam uma parametrização completamente explícita para a família de curvas $E_{A,B}$ com um invariante $j$ fixo $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$. Eles mostram que essas curvas correspondem a pontos inteiros em uma curva cúbica cuspidal $y^2 = a(j)x^3$, onde $a(j) = \frac{4(1728-j)}{27j}$.
2. Pontos Inteiros em Cúbicas Cuspidais: Uma ferramenta técnica fundamental é a Proposição 3.1, que fornece uma fórmula exata para o número de pontos inteiros em uma cúbica cuspidal dentro de uma caixa retangular. Isso se baseia em uma bijeção entre o conjunto de pontos inteiros e um conjunto escalonado de inteiros $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$.
3. Decomposição de Twist: Os autores utilizam a decomposição da família de todas as curvas $\tilde{E}$ em twists de modelos mínimos $E$. Especificamente, qualquer curva $E_{A',B'}$ pode ser escrita de forma única como $d * E_{A,B}$ (onde $d$ é um inteiro e $E_{A,B}$ é um modelo mínimo) de tal modo que a altura escala por $d^{12}$. Isso permite o uso da inversão de Möbius para relacionar a contagem de todas as curvas à contagem de modelos mínimos (classes de isomorfismo).
4. Análise Assintótica: Ao combinar as contagens exatas de pontos inteiros com a densidade de inteiros livres de quadrados (via função de Möbius) e inteiros $k$-livres, os autores derivam expansões assintóticas precisas, incluindo termos de erro.

Principais Contribuições e Resultados

• Fórmulas de Contagem Global: O artigo fornece fórmulas exatas e assintóticas para o número total de curvas nas famílias $\tilde{E}$ (todos os modelos integrais) e $E$ (modelos mínimos) ordenadas por $H_{\alpha,\beta}$.

  • Para modelos mínimos, a contagem assintótica é $\frac{4}{\alpha^{1/3}\beta^{1/2}\zeta(10)}X^{5/6} + O(X^{1/2})$.
  • Isso unifica e estende resultados anteriores de Brumer (para altura não calibrada) e Poonen/Balakrishnan et al. (para altura calibrada).

• Fórmulas de Invariante $j$ Fixo: Os autores fornecem o primeiro termo principal assintótico explícito para curvas com um invariante $j$ fixo $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$.

  • Eles provam que o número de modelos mínimos é $\frac{2c(j; H_{\alpha,\beta})}{\zeta(2)}X^{1/6} + O(X^{1/12})$, onde $c(j; H_{\alpha,\beta})$ é uma constante explícita dependente de $j$ e da normalização da altura.
  • Isso melhora o limite anterior de $O(X^{1/6})$, fornecendo um coeficiente principal computável.
  • Para $j=0$ e $j=1728$, as fórmulas são refinadas para incluir constantes explícitas e termos de erro $O(X^{1/12})$.

• Contagens de Multiplicação Complexa (CM): Ao somar os resultados sobre os treze invariantes $j$ conhecidos de CM, os autores derivam fórmulas exatas e assintóticas para o número de curvas elípticas CM.

  • A expansão assintótica para modelos CM mínimos inclui três termos: $O(X^{1/2})$ (de $j=0$), $O(X^{1/3})$ (de $j=1728$) e $O(X^{1/6})$ (de outros invariantes $j$ de CM).
  • O artigo calcula explicitamente a constante para o termo $X^{1/6}$, denotada por $K(\alpha, \beta)$.

• Parametrização Explícita e Modelos Mínimos: O artigo fornece uma parametrização construtiva $A(m), B(m)$ para todas as curvas com um invariante $j$ fixo. Esta parametrização identifica as duas curvas de menor altura ingênua (correspondentes a $m = \pm 1$) e descreve todas as outras curvas na família como twists quadráticos desses modelos mínimos.

  • Exemplo: Para a ordem CM com discriminante $-163$, as curvas de altura mínima têm uma altura calibrada de aproximadamente $2,63 \times 10^{21}$. Isso explica por que buscas exaustivas por computador anteriores até $10^{10}$ não encontraram tais curvas.

• Densidade Assintótica: O artigo calcula a densidade assintótica de modelos mínimos dentro do conjunto de todos os modelos integrais.

  • Para a família global, a densidade é $1/\zeta(10) \approx 99,9\%$.
  • Para invariantes $j$ fixos ($j \neq 0, 1728$), a densidade é $1/\zeta(2) \approx 60,8\%$.

Verificação e Dados
Os autores verificam suas fórmulas teóricas contra buscas exaustivas por computador para pequenos limites de altura. Eles também fornecem dados numéricos extensos para curvas CM até uma altura de $10^{30}$, computados usando suas fórmulas exatas em vez de enumeração por força bruta. Estes dados incluem tabelas de representantes de altura mínima para todos os treze invariantes $j$ de CM e contagens de curvas para vários limites de altura.

Significância
O artigo afirma sua significância ao fornecer um framework unificado para contar curvas elípticas sob diferentes normalizações de altura. Seu principal avanço teórico é a derivação de fórmulas assintóticas explícitas para curvas com invariantes $j$ fixos (excluindo 0 e 1728), um problema anteriormente limitado a limites superiores. Além disso, a parametrização explícita de famílias de invariante $j$ fixo permite a identificação de modelos mínimos e explica discrepâncias entre previsões teóricas e buscas computacionais para curvas CM de alta altura. A inclusão de código SageMath e extensas tabelas numéricas serve como um complemento computacional aos resultados teóricos, facilitando pesquisas futuras em estatística aritmética.