Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height

技術要約：有界なナイーブ高さを持つ $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線 の計数

問題設定
本論文は、ナイーブ高さによって順序付けられた有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線を数え上げる問題に取り組んでいる。著者らは、整数係数 $A, B \in \mathbb{Z}$ を持つ短ワイエルシュトラス形式 $E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$ の曲線について考察している。研究の焦点は、算術統計学において広く用いられている2つの主要なナイーブ高さの正規化、すなわち、較正された（calibrated）ナイーブ高さ $H_{\text{cal}}(E_{A,B}) := \max\{4|A|^3, 27B^2\}$ と、非較正の（uncalibrated）ナイーブ高さ $H_{\text{ncal}}(E_{A,B}) := \max\{|A|^3, B^2\}$ である。

著者らは、複数のファミリー（両方の最小モデルおよび非最小モデルを含む全グローバル・ファミリー、固定された $j$-不変量を持つ部分ファミリー、および複素乗法（CM）を持つ曲線の部分ファミリー）に対し、高さの境界 $X$ 内にある曲線の個数に関する厳密な式および漸近公式を提供することを目的としている。

具体的な課題として、固定された $j$-不変量 $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$ を持つ曲線の分布が挙げられる。先行研究（例：[BSCM25]）では、$j=0$ および $j=1728$ の場合の漸近公式は確立されていたが、それ以外の有理数 $j$-不変量については $O(X^{1/6})$ という上界しか示すことができなかった。

手法
著者らは、任意の実パラメータ $\alpha, \beta \ge 1$ に対して一般化されたナイーブ高さ $H_{\alpha,\beta}(E_{A,B}) := \max\{\alpha|A|^3, \beta B^2\}$ を導入することで、較正された高さと非較正の高さの扱いを統一している。

核心となる手法論的貢献は以下の通りである：

1. 固定 $j$-不変量ファミリーのパラメータ化： 著者らは、固定された $j$-不変量 $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$ を持つ曲線のファミリー $E_{A,B}$ に対する完全に明示的なパラメータ化を導出している。彼らは、これらの曲線が、尖点を持つ三次曲線 $y^2 = a(j)x^3$（ここで $a(j) = \frac{4(1728-j)}{27j}$）上の整数点に対応することを示す。
2. 尖点を持つ三次曲線上の整数点： 重要な技術的ツールは、長方形のボックス内における尖点を持つ三次曲線上の整数点の個数に関する厳密な公式を提供する命題3.1であり、これは整数点とスケーリングされた整数の集合 $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ との間の全単射に基づいている。
3. ねじれ分解（Twist Decomposition）： 著者らは、全曲線 $\tilde{E}$ を最小モデル $E$ のねじれ（twists）への分解を利用している。具体的には、任意の曲線 $E_{A',B'}$ は、高さを $d^{12}$ 倍させる整数 $d$ と最小モデル $E_{A,B}$ を用いて、$d * E_{A,B}$ と一意に記述できる。これにより、モルビウスの反転公式を用いて、すべての曲線の計数と最小モデル（同型類）の計数を関連付けることが可能になる。
4. 漸近解析： 整数点の正確な計数と、メビウス関数を介した平方フリー整数および $k$-自由整数の密度を組み合わせることで、誤差項を含む精密な漸近展開を導出している。

主要な貢献と結果

• グローバル計数公式： 本論文は、高さ $H_{\alpha,\beta}$ によって順序付けられたファミリー $\tilde{E}$（すべての整数モデル）および $E$（最小モデル）の総数に関する厳密な式および漸近公式を提供している。

  • 最小モデルの場合、漸近的な計数は $\frac{4}{\alpha^{1/3}\beta^{1/2}\zeta(10)}X^{5/6} + O(X^{1/2})$ である。
  • これは、Brumer（非較正の高さに対して）およびPoonen/Balakrishnanら（較正された高さに対して）による先行研究を統合し、拡張するものである。

• 固定 $j$-不変量公式： 著者らは、$j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$ の固定された $j$-不変量を持つ曲線に対する、最初の明示的な漸近主項を提供している。

  • 彼らは、最小モデルの数は $\frac{2c(j; H_{\alpha,\beta})}{\zeta(2)}X^{1/6} + O(X^{1/12})$ であり、$c(j; H_{\alpha,\beta})$ は $j$ と高さの正規化に依存する明示的な定数であることを証明している。
  • これは、従来の $O(X^{1/6})$ という上界を改善し、計算可能な主係数を提供している。
  • $j=0$ および $j=1728$ の場合、公式は明示的な定数と誤差項 $O(X^{1/12})$ を含めて精緻化されている。

• 複素乗法（CM）計数： 13個の既知のCM $j$-不変量にわたって結果を合計することにより、著者らはCM楕円曲線の個数の厳密な式および漸近公式を導出している。

  • 最小CMモデルの漸近展開には、3つの項が含まれる：$O(X^{1/2})$（$j=0$ から）、$O(X^{1/3})$（$j=1728$ から）、および $O(X^{1/6})$（その他のCM $j$-不変量から）。
  • 本論文は、$X^{1/6}$ 項の定数 $K(\alpha, \beta)$ を明示的に計算している。

• 明示的パラメータ化と最小モデル： 本論文は、固定された $j$-不変量を持つすべての曲線の構成的なパラメータ化 $A(m), B(m)$ を提供している。このパラメータ化は、最小のナイーブ高さを持つ2つの曲線（$m = \pm 1$ に対応）を特定し、このファミリー内の他のすべての曲線をこれらの最小モデルの二次ねじれとして記述する。

  • 例： 判別式 $-163$ のCMオーダーの場合、最小高さの曲線は近似的に $2.63 \times 10^{21}$ の較正された高さを持つ。これが、これまでの $10^{10}$ までの徹底的なコンピュータ探索でそのような曲線が見つからなかった理由である。

• 漸近密度： 著者らは、すべての整数モデルの集合内における最小モデルの漸近密度を計算している。

  • グローバル・ファミリーの場合、密度は $1/\zeta(10) \approx 99.9\%$ である。
  • 固定された $j$-不変量（$j \neq 0, 1728$）の場合、密度は $1/\zeta(2) \approx 60.8\%$ である。

検証とデータ
著者らは、小さな高さの境界に対する徹底的なコンピュータ探索を用いて、理論式を検証している。また、総当たり的な列挙ではなく、彼らの厳密な公式を用いて計算された、高さ $10^{30}$ までのCM曲線に関する広範な数値データも提供している。このデータには、13個のすべてのCM $j$-不変量の最小高さ代表の表、および様々な高さの境界における曲数の表が含まれている。

意義
本論文は、異なる高さの正規化の下での楕円曲線の計数に関する統一的な枠組みを提供することで、その意義を主張している。その主要な理論的進展は、固定された $j$-不変量（0および1728を除く）を持つ曲線に対する明示的な漸近公式の導出であり、これは以前は上界に限定されていた問題である。さらに、固定された $j$-不変量ファミリーの明示的なパラメータ化により、最小モデルの特定が可能となり、高次高さのCM曲線に関する理論的予測と計算探索との間の相違を説明している。SageMathコードと広範な数値表の同梱は、理論的結果の計算論的な補完として機能し、算術統計学におけるさらなる研究を促進するものである。