Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height

Technische Samenvatting: Tellen van Elliptische Curven over $\mathbb{Q}$ met Begrensde Naïeve Hoogte

Probleemstelling
Dit artikel behandelt het probleem van het tellen van elliptische curven over de rationale getallen $\mathbb{Q}$, geordend volgens hun "naïeve hoogte". Specifiek beschouwen de auteurs curven in de korte Weierstrass-vorm $E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$ met gehele coëfficiënten $A, B \in \mathbb{Z}$. De studie richt zich op twee primaire normalisaties van de naïeve hoogte die breed worden gebruikt in de arithmetische statistiek: de gekalibreerde naïeve hoogte, $H_{\text{cal}}(E_{A,B}) := \max\{4|A|^3, 27B^2\}$, en de ongekalibreerde naïeve hoogte, $H_{\text{ncal}}(E_{A,B}) := \max\{|A|^3, B^2\}$.

De auteurs streven ernaar om exacte en asymptotische formules te bieden voor het aantal dergelijke curven binnen een hoogtegrens $X$ voor verschillende families:

1. De globale familie van alle dergelijke curven (zowel minimale modellen als niet-minimale modellen).
2. Subfamilies met een vaste $j$-invariant.
3. Subfamilies van curven met Complexe Multiplicatie (CM).

Een specifieke uitdaging die wordt aangepakt, is de distributie van curven met vaste $j$-invarianten waarbij $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$. Voorgaand werk (bijv. [BSCM25]) had asymptotische formules vastgesteld voor $j=0$ en $j=1728$, maar kon slechts een bovengrens van $O(X^{1/6})$ bieden voor andere rationale $j$-invarianten.

Methodologie
De auteurs verenigen de behandeling van gekalibreerde en ongekalibreerde hoogtes door een gegeneraliseerde naïeve hoogte $H_{\alpha,\beta}(E_{A,B}) := \max\{\alpha|A|^3, \beta B^2\}$ te introduceren voor willekeurige reële parameters $\alpha, \beta \ge 1$.

De kern van de methodologische bijdragen omvat:

1. Parametrisatie van Families met Vaste $j$-Invariant: De auteurs leiden een volledig expliciete parametrisatie af voor de familie van curven $E_{A,B}$ met een vaste $j$-invariant $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$. Zij tonen aan dat deze curven overeenkomen met gehele punten op een cuspidale kubische curve $y^2 = a(j)x^3$, waarbij $a(j) = \frac{4(1728-j)}{27j}$.
2. Gehele Punten op Cuspidale Cubics: Een cruciaal technisch instrument is Propositie 3.1, die een exacte formule biedt voor het aantal gehele punten op een cuspidale cubic binnen een rechthoekige box. Dit berust op een bijjectie tussen de verzameling gehele punten en een geschaalde verzameling gehele getallen $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$.
3. Twist-decompositie: De auteurs maken gebruik van de decompositie van de familie van alle curven $\tilde{E}$ in twists van minimale modellen $E$. Specifiek kan elke curve $E_{A',B'}$ uniek geschreven worden als $d * E_{A,B}$ (waarbij $d$ een geheel getal is en $E_{A,B}$ een minimaal model) zodanig dat de hoogte schaalt met $d^{12}$. Dit maakt het gebruik van Möbius-inversie mogelijk om de telling van alle curven te relateren aan de telling van minimale modellen (isomorfieklassen).
4. Asymptotische Analyse: Door de exacte tellingen van gehele punten te combineren met de dichtheid van vierkantvrije gehele getallen (via de Möbius-functie) en $k$-vrije gehele getallen, leiden de auteurs precieze asymptotische expansies af, inclusief fouttermen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Globale Tellingen: Het artikel biedt exacte en asymptotische formules voor het totaal aantal curven in de families $\tilde{E}$ (alle integrale modellen) en $E$ (minimale modellen) geordend door $H_{\alpha,\beta}$.

  • Voor minimale modellen is de asymptotische telling $\frac{4}{\alpha^{1/3}\beta^{1/2}\zeta(10)}X^{5/6} + O(X^{1/2})$.
  • Dit verenigt en breidt eerdere resultaten van Brumer (voor ongekalibreerde hoogte) en Poonen/Balakrishnan et al. (voor gekalibreerde hoogte) uit.

• Formules voor Vaste $j$-Invariant: De auteurs bieden de eerste expliciete asymptotische hoofdbeterm voor curven met een vaste $j$-invariant $j \in \mathbb{Q} \setminus \{0, 1728\}$.

  • Zij bewijzen dat het aantal minimale modellen $\frac{2c(j; H_{\alpha,\beta})}{\zeta(2)}X^{1/6} + O(X^{1/12})$ is, waarbij $c(j; H_{\alpha,\beta})$ een expliciete constante is die afhangt van $j$ en de hoogte-normalisatie.
  • Dit verbetert de vorige $O(X^{1/6})$ bovengrens door een berekenbare leidende coëfficiënt te leveren.
  • Voor $j=0$ en $j=1728$ zijn de formules verfijnd om expliciete constanten en fouttermen $O(X^{1/12})$ te bevatten.

• Complex Multiplication (CM) Tellingen: Door de resultaten op te tellen over de dertien bekende CM $j$-invarianten, leiden de auteurs exacte en asymptotische formules af voor het aantal CM elliptische curven.

  • De asymptotische expansie voor minimale CM-modellen bevat drie termen: $O(X^{1/2})$ (van $j=0$), $O(X^{1/3})$ (van $j=1728$), en $O(X^{1/6})$ (van andere CM $j$-invarianten).
  • Het artikel berekent expliciet de constante voor de $X^{1/6}$-term, genoteerd als $K(\alpha, \beta)$.

• Expliciete Parametrisatie en Minimale Modellen: Het artikel biedt een constructieve parametrisatie $A(m), B(m)$ voor alle curven met een vaste $j$-invariant. Deze parametrisatie identificeert de twee curven van minimale naïeve hoogte (overeenkomend met $m = \pm 1$) en beschrijft alle andere curven in de familie als kwadratische twists van deze minimale modellen.

  • Voorbeeld: Voor de CM-orde met discriminant $-163$, hebben de minimale hoogte curven een gekalibreerde hoogte van ongeveer $2.63 \times 10^{21}$. Dit verklaart waarom eerdere exhaustieve computerzoektochten tot $10^{10}$ geen dergelijke curven vonden.

• Asymptotische Dichtheid: Het artikel berekent de asymptotische dichtheid van minimale modellen binnen de verzameling van alle integrale modellen.

  • Voor de globale familie is de dichtheid $1/\zeta(10) \approx 99,9\%$.
  • Voor vaste $j$-invarianten ($j \neq 0, 1728$) is de dichtheid $1/\zeta(2) \approx 60,8\%$.

Verificatie en Data
De auteurs verifiëren hun theoretische formules tegen exhaustieve computerzoektochten voor kleine hoogtegrenzen. Zij bieden ook uitgebreide numerieke gegevens voor CM-curven tot een hoogte van $10^{30}$, berekend met behulp van hun exacte formules in plaats van brute-force enumeratie. Deze gegevens bevatten tabellen van minimale hoogte representanten voor alle dertien CM $j$-invarianten en tellingen van curven voor diverse hoogtegrenzen.

Betekenis
Het artikel claimt significant te zijn door een verenigd kader te bieden voor het tellen van elliptische curven onder verschillende hoogte-normalisaties. De primaire theoretische vooruitgang is de afleiding van expliciete asymptotische formules voor curven met vaste $j$-invarianten (exclusief 0 en 1728), een probleem dat voorheen beperkt was tot bovengrenzen. Bovendien maakt de expliciete parametrisatie van families met een vaste $j$-invariant het identificeren van minimale modellen mogelijk en verklaart het discrepanties tussen theoretische voorspellingen en computationele zoektochten naar hoog-hoogte CM-curven. De inclusie van SageMath-code en uitgebreide numerieke tabellen dient als een computationele complement aan de theoretische resultaten, wat verder onderzoek in de arithmetische statistiek faciliteert.