Quasiparticle tunnelling in two coupled chiral SYK model

Sintesi Tecnica: Tunneling di Quasiparticelle in due Modelli SYK Chirali Accoppiati

Enunciato del Problema
Il modello Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) è un sistema quantistico paradigmatico risolvibile (0+1 dimensioni) che esibisce il caos massimale, simmetria conforme nell'infrarosso (IR) e una connessione con i duali olografici di buchi neri quasi-estremi. Una deformazione quadratica rilevante nel modello SYK accoppiato in 0+1 dimensioni (due copie che interagiscono tramite un termine bilineare) è nota per aprire un gap di massa, indurre una transizione di fase termica e realizzare una fisica analoga ai wormhole traversabili.

Questo articolo investiga le conseguenze dell'introduzione di un'identica interazione quadratica rilevante tra due modelli SYK chirali in 1+1 dimensioni. Il modello SYK chirale è una generalizzazione che coinvolge $N$ fermioni di Majorana chirali destra-orientati con interazioni a 4 fermioni casuali omogenee. A differenza del suo corrispettivo in 0+1 dimensioni, il modello SYK chirale in 1+1 dimensioni possiede una esatta simmetria di scala ed esibisce dinamiche di bordo topologiche e prive di gap con conduttanza termica di Hall quantizzata. La questione centrale è se la perturbazione quadratica rilevante, che rompe la simmetria di scala e di inversione temporale, induca un gap di massa e una transizione di fase nel sistema chirale 1+1, o se la natura priva di gap dei modi di bordo chirali sia robusta contro tali deformazioni.

Metodologia
Gli autori analizzano il sistema nel limite large-$N$ utilizzando il formalismo dell'integrale di cammino mediato sul disordine.

1. Costruzione del Modello: Due sistemi SYK chirali ($A$ e $B$) sono accoppiati tramite un Hamiltoniano $H_I = i\mu \sum_j \psi^j_A \psi^j_B$, dove $\mu$ è una costante di accoppiamento con dimensione. Questo termine rompe le simmetrie di inversione temporale e di scala.
2. Equazioni di Dyson-Schwinger (DS): Gli autori derivano le equazioni DS large-$N$ per le funzioni a due punti (funzioni di Green) $G_{ab}$ e le auto-energie $\Sigma_{ab}$ (dove $a,b \in \{A, B\}$).
3. Soluzione Perturbativa: Lavorando nel regime di accoppiamento inter-sistema debole ($\mu^2 \ll J$), gli autori risolvono le equazioni DS in modo perturbativo. La correzione principale al correlatore inter-sistema $G_{AB}$ viene calcolata analiticamente a temperatura finita.
4. Regolarizzazione: Viene impiegato uno schema di regolarizzazione consistente per splitting di punti (splitting nella direzione spaziale $x$) per gestire le divergenze UV negli integrali in spazio reale e per definire rigorosamente le funzioni a due punti. Ciò è cruciale per calcolare quantità fisiche come l'energia libera.
5. Continuazione Analitica: I correlatori euclidei vengono sottoposti a continuazione analitica al tempo reale per calcolare i correlatori ritardati e le densità spettrali.

Contributi Chiave e Risultati

• Soluzione Analitica per i Correlatori Accoppiati: Gli autori ottengono un'espressione analitica esatta per la correzione del primo ordine alla funzione a due punti inter-sistema $G_{AB}(\tau, x)$ a temperatura finita. La soluzione è espressa in termini di integrali ellittici completi del primo tipo, $K(c)$, dove gli argommenti dipendono dalla temperatura $\beta^{-1}$ e dalle velocità modificate $u_\pm = 1 \pm J/2\pi$.
• Assenza di Gap di Massa: A differenza del modello SYK accoppiato in 0+1 dimensioni, il sistema accoppiato in 1+1 dimensioni non sviluppa un gap di massa. Le funzioni a due punti non esibiscono decadimento esponenziale a grandi tempi euclidei. Ciò indica che il sistema rimane in una fase priva di gap a tutte le temperature.
• Termodinamica: La principale correzione alla densità di energia libera termodinamica viene calcolata. Crucialmente, questa correzione è indipendente dalla temperatura. Di conseguenza, la densità di entropia del sistema accoppiato rimane identica a quella di due sistemi SYK chirali non accoppiati. Non vi è alcun incremento della degenerazione dello stato fondamentale o transizione di fase termica.
• Tunneling di Quasiparticelle e Modi Collettivi:
  • L'analisi in tempo reale del correlatore ritardato a temperatura zero rivela un comportamento logaritmico, caratteristico di campi scalari privi di massa in 1+1 dimensioni.
  • La funzione spettrale conferma l'esistenza di modi collettivi bosonici privi di massa che si propagano tra i due sottosistemi con velocità $u_\pm$.
  • Questi modi sono identificati come eventi di tunneling di quasiparticelle tra i due sistemi chirali. Il tunneling avviene senza generare un gap.
• Preservazione della Simmetria: La soluzione rispetta la simmetria $Z_4$ del Lagrangiano, che vincola i correlatori ad essere antisimmetrici attorno a $\tau = \beta/2$. La simmetria rimane integra nella teoria effettiva dei bilineari al primo ordine in $\mu$.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo rivendica una netta distinzione qualitativa tra le deformazioni rilevanti dei modelli SYK in 0+1 e 1+1 dimensioni:

1. 0+1 Dimensioni: Una deformazione quadratica rilevante porta a una fase con gap, una transizione di fase termica e fisica simile ai wormhole (wormhole traversabili).
2. 1+1 Dimensioni (Chirali): La stessa deformazione preserva la natura priva di gap del sistema. Essa dà origine a modi collettivi propaganti (tunneling di quasiparticelle) piuttosto che a uno stato fondamentale con gap.

Gli autori concludono che l'intuizione derivata dai wormhole traversabili in 0+1 dimensioni non si estende in modo diretto ai sistemi chirali a dimensioni superiori. I risultati evidenziano la robustezza della dinamica di bordo chirale priva di gap contro interazioni che rompono esplicitamente la simmetria di scala. Ciò supporta la visione secondo cui i fermioni chirali interagenti di questo tipo possono esistere come modi di bordo stabili di fasi topologiche con gap in 2+1 dimensioni, dove l'assenza di gap è protetta topologicamente finché il gap del bulk non si chiude. Il lavoro sottolinea come la natura topologica del modello SYK chirale, evidenziata dalla sua conduttanza termica di Hall quantizzata, persista anche in presenza della perturbazione che rompe la simmetria.