Quasiparticle tunnelling in two coupled chiral SYK model

技術要約：2つの結合されたカイラルSYKモデルにおける準粒子のトンネリング

問題提起
サックデフ・イェ・キタエフ（SYK）モデルは、極大カオス、赤外（IR）における共形対称性、および近極限ブラックホールのホログラフィック双対性との関連性を示す、パラダイマティックで解可能な量子力学系（0+1次元）である。2つのコピーが双線形項を介して相互作用する0+1次元結合SYKモデルにおける、関連のある二次的な変形は、質量ギャップを開き、熱相転移を誘起し、通過可能なワームホールに類似した物理を実現することが知られている。

本論文は、2つの結合された1+1次元カイラルSYKモデルの間に、同一の関連的な二次的相互作用を導入した場合の結果を調査している。カイラルSYKモデルは、均質なランダムな4フェルミオン相互作用を持つ、$N$個の右巻きカイラル・マヨラナ・フェルミオンを含む一般化されたモデルである。0+1次元の対応するモデルとは異なり、1+1次元カイラルSYKモデルは厳密なスケーリング対称性を持ち、量子化された熱ホール伝導率を伴うギャップレスなトポロジカル・エッジ的なダイナミクスを示す。中心となる問いは、スケーリング対称性と時間反転対称性を破る関連的な二次的結合が、1+1次元カイラル系に質量ギャップを誘起するのか、それともカイラル・エッジモードのギャップレスな性質はこのような変形に対して頑健であるのかという点である。

手法
著者らは、大$N$極限において無秩序平均経路積分形式を用いてシステムを解析している。

1. モデル構成: 2つのカイラルSYK系（$A$と$B$）が、ハミルトニアン $H_I = i\mu \sum_j \psi^j_A \psi^j_B$ を通じて結合されている。ここで、$\mu$は次元を持つ結合定数である。この項は時間反転対称性とスケーリング対称性を破る。
2. ダイソン・シュウィンガー（DS）方程式: 著者らは、2点関数（グリーン関数）$G_{ab}$ および自己エネルギー $\Sigma_{ab}$（ここで $a,b \in \{A, B\}$）に対する大$N$ DS方程式を導出する。
3. 摂動解: 弱い相互系結合（$\mu^2 \ll J$）の領域において、著者らはDS方程式を摂動的に解く。系間相関関数 $G_{AB}$ に対する主要な補正が、有限温度において解析的に計算される。
4. 正則化: 実空間積分におけるUV発散を扱い、2点関数を厳密に定義するために、一貫したポイントスプリッティング（空間方向 $x$ における分裂）正則化スキームが採用されている。これは、自由エネルギーのような物理量を計算する上で極めて重要である。
5. 解析接続: ユークリッド相関関数を実時間へと解析接続し、遅延相関関数およびスペクトル密度を計算する。

主な貢献と結果

• 結合相関関数の解析解: 著者らは、有限温度における系間2点関数 $G_{AB}(\tau, x)$ に対する主要な次数の補正に関する厳密な解析解を得た。この解は、引数が温度 $\beta^{-1}$ と修正速度 $u_\pm = 1 \pm J/2\pi$ に依存する、第1種完全楕円積分 $K(c)$ を用いて表される。
• 質量ギャップの不在: 0+1次元の結合SYKモデルとは異なり、1+1次元結合系は質量ギャップを発達させない。2点関数は、大きなユークリッド時間において指数関数的な減衰を示さない。これは、システムがすべての温度においてギャップレスな相に留まっていることを示している。
• 熱力学: 熱力学的な自由エネルギー密度の主要な補正が計算された。極めて重要なことに、この補正は温度に依存しない。したがって、結合系のエントロピー密度は、結合されていない2つのカイラルSYK系と同一である。基底状態の縮退の増大や熱相転移は存在しない。
• 準粒子トンネリングと集団モード:
  • ゼロ温度における遅延相関関数の実時間解析は、1+1次元の質量のない自由スカラー場に特徴的な対数挙動を明らかにする。
  • スペクトル関数は、速度 $u_\pm$ で2つのサブシステム間を伝播する質量のない集団的なボゾンモードの存在を裏付けている。
  • これらのモードは、2つのカイラル系間における準粒子トンネリング事象として特定される。このトンネリングは、ギャップを生成することなく発生する。
• 対称性の保持: 解はラグランジアンの $Z_4$ 対称性を尊重しており、これは相関関数が $\tau = \beta/2$ の周りで反対称であることを制約している。この対称性は、$\mu$ の1次において、双線形量の有効理論において破れることなく維持されている。

意義と主張
本論文は、0+1次元と1+1次元におけるSYKモデルの関連的な変形との間に、明確な質的相違があることを主張している：

1. 0+1次元: 関連的な二次的変形は、ギャップのある相、熱相転移、およびワームホール的な物理をもたらす（通過可能なワームホール）。
2. 1+1次元（カイラル）: 同様の変形は、システムのギャップレスな性質を保持する。それは、ギャップを生成するのではなく、伝播する集団モード（準粒子トンネリング）を生じさせる。

著者らは、0+1次元の通過可能なワームホールから得られる直感は、高次元のカイラル系には直接的には拡張できないと結論付けている。これらの結果は、明示的なスケーリング対称性の破れを伴う相互作用に対しても、ギャップレスなカイラル・エッジダイナミクスが頑健であることを強調している。これは、このような型の相互作用するカイラル・フェルミオンが、バルクのギャップが閉じない限り、2+1次元のギャップのあるトポロジカル相の安定なエッジモードとして存在し得るという見解を支持するものである。本研究は、量子化された熱ホール伝導率によって示されるカイラルSYKモデルのトポロジカルな性質が、対称性を破る結合が存在する場合でも持続することを浮き彫りにしている。