Quasiparticle tunnelling in two coupled chiral SYK model

기술 요약: 두 개의 결합된 카이랄 SYK 모델에서의 준입자 터널링

문제 정의
사크데브-예-키타예프(Sachdev-Ye-Kitaev, SYK) 모델은 극대 혼돈(maximal chaos), 적외선(IR) 영역에서의 공형 대칭성, 그리고 근임계 블랙홀의 홀로그래피 이중체와의 연결성을 특징으로 하는 전형적인 가해적 양자 역학계(0+1 차원)이다. 두 개의 복사본이 이선형 항(bilinear term)을 통해 상호작용하는 0+1 차원 결합 SYK 모델에서 유의미한 이차 변형(quadratic deformation)은 질량 간극(mass gap)을 열고, 열적 상전이를 유도하며, 통과 가능한 웜홀(traversable wormholes)과 유사한 물리학을 구현하는 것으로 알려져 있다.

본 논문은 동일한 유의미한 이차 상호작용을 두 개의 결합된 1+1차원 카이랄(chiral) SYK 모델에 도입했을 때의 결과를 조사한다. 카이랄 SYK 모델은 균일한 무작위 4-페르미온 상호작용을 가진 $N$개의 우향(right-moving) 카이랄 마요라나 페르미온을 포함하는 일반화된 모델이다. 0+1 차원의 대응 모델과 달리, 1+1 차원 카이랄 SYK 모델은 정확한 스케일링 대칭성을 가지며, 양자화된 열 홀 전도도(thermal Hall conductance)를 갖는 간극이 없는(gapless) 위상적 에지 유사 역학을 나타낸다. 핵심 질문은 스케일링 및 시간 역전 대칭성을 깨뜨리는 유의미한 이차 결합이 1+1 차원 카이랄 시스템에서 질량 간극과 상전이를 유도하는지, 아니면 카이랄 에지 모드의 간극이 없는 성질이 이러한 변형에 대해 강건한지 여부이다.

방법론
저자들은 대규모 $N$ 극한에서 무질서 평균 경로 적분 형식(disorder-averaged path integral formalism)을 사용하여 시스템을 분석한다.

1. 모델 구성: 두 개의 카이랄 SYK 시스템($A$와 $B$)은 해밀토니안 $H_I = i\mu \sum_j \psi^j_A \psi^j_B$를 통해 결합된다. 여기서 $\mu$는 차원을 가진 결합 상수이다. 이 항은 시간 역전 및 스케일링 대칭성을 깨뜨린다.
2. 다이슨-슈윙거(Dyson-Schwinger, DS) 방정식: 저자들은 두 점 함수(two-point functions, 그린 함수) $G_{ab}$와 자기 에너지(self-energies) $\Sigma_{ab}$ ($a,b \in \{A, B\}$)에 대한 대규모 $N$ DS 방정식을 유도한다.
3. 섭동적 해법: 약한 계 간 결합($\mu^2 \ll J$) 영역에서 작업하며, 저자들은 섭동적으로 DS 방정식을 푼다. 계 간 상관 함수 $G_{AB}$에 대한 주위 차수 보정항을 유한 온도에서 분석적으로 계산한다.
4. 정규화: 실공간 적분에서의 UV 발산을 처리하고 두 점 함수를 엄밀하게 정의하기 위해 일관된 점 분리 정규화(point-splitting regularization) 방식(공간 $x$ 방향에서의 분리)을 채택한다. 이는 자유 에너지와 같은 물리량을 계산하는 데 매우 중요하다.
5. 해석적 연속: 유클리드 상관 함수를 실수 시간으로 해석적 연속하여 지연된 상관 함수(retarded correlators)와 스펙트럼 밀도를 계산한다.

주요 기여 및 결과

• 결합된 상관 함수에 대한 해석적 해: 저자들은 유한 온도에서 계 간 두 점 함수 $G_{AB}(\tau, x)$에 대한 주위 차수 보정항에 대한 정확한 해석적 표현식을 얻었다. 이 해는 제1종 완전 타원 적분 $K(c)$로 표현되며, 여기서 인수는 온도 $\beta^{-1}$와 수정된 속도 $u_\pm = 1 \pm J/2\pi$에 의존한다.
• 질량 간극의 부재: 0+1 차원의 결합된 SYK 모델과 달리, 1+1 차원의 결합된 시스템은 질량 간극을 형성하지 않는다. 두 점 함수는 큰 유클리드 시간에서 지수적 감쇠를 보이지 않는다. 이는 시스템이 모든 온도에서 간극이 없는 상(phase)에 머물러 있음을 나타낸다.
• 열역학: 열역학적 자유 에너지 밀도에 대한 주위 차수 보정항이 계산되었다. 결정적으로, 이 보정항은 온도에 독립적이다. 따라서 결합된 시스템의 엔트로피 밀도는 결합되지 않은 두 개의 카이랄 SYK 시스템과 동일하게 유지된다. 바닥 상태 퇴화의 증가나 열적 상전이는 발생하지 않는다.
• 준입자 터널링 및 집단 모드:
  • 제로 온도에서의 지연된 상관 함수에 대한 실수 시간 분석은 1+1 차원의 질량이 없는 자유 스칼라 장의 특성인 로그 거동을 드러낸다.
  • 스펙트럼 함수는 두 하위 시스템 사이를 전파하는 **질량이 없는 집단 보존 모드(massless collective bosonic modes)**의 존재를 확인시켜 준다. 이 모드들은 속도 $u_\pm$로 전파된다.
  • 이 모드들은 두 카이랄 시스템 사이의 준입자 터널링(quasiparticle tunnelling) 사건으로 식별된다. 터널링은 간극을 생성하지 않고 발생한다.
• 대칭성 보존: 해법은 라그랑지안의 $Z_4$ 대칭성을 존중하며, 이는 상관 함수가 $\tau = \beta/2$를 중심으로 반대칭이 되도록 제한한다. 이 대칭성은 $\mu$에 대한 주위 차수까지 유효 이론에서 깨지지 않은 채 유지된다.

의의 및 주장
본 논문은 0+1 차원과 1+1 차원 공간에서의 유의미한 변형 사이에 뚜렷한 질적 차이가 있다고 주장한다:

1. 0+1 차원: 유의미한 이차 변형은 간극이 있는 상, 열적 상전이, 그리고 웜홀과 같은 물리학을 초래한다.
2. 1+1 차원 (카이랄): 동일한 변형은 시스템의 간극이 없는 성질을 보존한다. 이는 간극이 있는 바닥 상태를 만드는 대신 전파되는 집단 모드(준입자 터널링)를 발생시킨다.

저자들은 0+1 차원의 통과 가능한 웜홀에서 얻은 직관이 고차원 카이랄 시스템으로 직접적으로 확장되지 않는다고 결론짓는다. 이 결과는 스케일링 대칭성을 명시적으로 깨뜨리는 상호작용에도 불구하고 간극이 없는 카이랄 에지 역학의 강건함을 강조한다. 이는 이러한 유형의 상호작용하는 카이랄 페르미온이 2+1 차원 간극이 있는 위상적 상의 안정적인 에지 모드로 존재할 수 있다는 견해를 뒷받침한다. 본 연구는 양자화된 열 홀 전도도로 입증된 카이랄 SYK 모델의 위상적 성질이 대칭성을 깨뜨리는 결합이 존재하는 중에도 지속된다는 점을 강조한다.