Equilibrium Liquidity and Risk Offsetting in Decentralised Markets

1. Il Problema

Il lavoro affronta la fattibilità economica della fornitura di liquidità negli scambi decentralizzati (DEX) all'interno di un mercato ibrido dove coesistono DEX e scambi centralizzati (CEX).
La letteratura esistente spesso tratta la dimensione dell'offerta di liquidità e le condizioni di trading come esogene e assume che il rischio delle posizioni DEX possa essere replicato senza attriti nei CEX. Tuttavia, nella realtà:

• La liquidità nei DEX è spesso bloccata per periodi discreti (a causa dei costi di transazione on-chain e dei gas fees), rendendo il ribilanciamento frequente costoso.
• La gestione del rischio tramite trading dinamico nei CEX comporta costi di esecuzione (impatto di mercato) e non è priva di attriti.
• I fornitori di liquidità (LP) devono bilanciare i ricavi dalle commissioni contro i costi di selezione avversa (Loss-Versus-Rebalancing o LVR) e i costi di replicazione del rischio.

L'obiettivo del paper è costruire un modello strutturale in cui l'equilibrio della liquidità, i volumi di trading e la redditività siano endogeni, determinati dalle interazioni strategiche tra LP, arbitraggisti e trader rumorosi (noise traders).

2. Metodologia

Gli autori formulano l'interazione strategica come un gioco sequenziale a tre stadi, risolto per induzione a ritroso (backward induction) in un quadro di equilibrio parziale:

• Stadio 1 (Scelta della Liquidità): Un LP monopolista sceglie la profondità della liquidità ($\kappa$) depositata nel DEX. Questa decisione bilancia i ricavi attesi dalle commissioni (che aumentano con la liquidità) contro i costi di selezione avversa e i costi futuri di replicazione del rischio.
• Stadio 2 (Gestione del Rischio nel CEX): Fissata la liquidità $\kappa$, il LP determina una strategia di trading dinamica nel CEX per gestire l'esposizione all'inventario.
  • Il LP massimizza la ricchezza finale soggetta a una penalità per la deviazione dalla replicazione perfetta (avversione al rischio $\phi$) e a costi di esecuzione convessi ($\eta$).
  • Il LP possiede potenzialmente informazioni private sul drift del prezzo fondamentale, introducendo una componente speculativa.
  • Il problema di controllo stocastico è risolto utilizzando strumenti variazionali, riducendo la strategia ottima a un sistema accoppiato di equazioni differenziali stocastiche in avanti e all'indietro (FBSDE).
• Stadio 3 (Domanda di Liquidità): I trader rumorosi (noise LTs) arrivano stocasticamente e scelgono i volumi di trading ottimali in base ai costi di esecuzione (che dipendono dalla profondità $\kappa$) e alle loro utilità private. Gli arbitraggisti allineano il prezzo marginale del DEX al valore fondamentale.

Il modello utilizza funzioni di trading generali per i DEX (es. curve di livello iso-liquidità) e si specializza nel caso dei mercati a prodotto costante (es. Uniswap) per ottenere soluzioni in forma chiusa.

3. Contributi Chiave

1. Endogeneizzazione della Liquidità: A differenza dei modelli precedenti, la profondità della liquidità non è data, ma è una variabile decisionale strategica dell'LP che funge da strumento di gestione del rischio ex ante.
2. Replicazione Costosa e Avversione al Rischio: Il modello introduce esplicitamente i costi di trading nel CEX e l'avversione al rischio come determinanti critici. Si dimostra che l'intensità della replicazione è governata dal rapporto tra avversione al rischio e costi di trading ($\psi = \sqrt{\phi/2\eta}$), non dai loro livelli assoluti separatamente.
3. Ruolo dell'Informazione Privata: Si analizza come l'informazione privata influenzi la liquidità in modo non monotono.
4. Esistenza dell'Equilibrio: Si dimostra l'esistenza di un equilibrio di liquidità per funzioni di trading generali e si derivano espressioni analitiche per i mercati a prodotto costante.
5. Estensione all'Impatto di Prezzo Transitorio: L'Appendice B estende il modello considerando che le operazioni dell'LP nel CEX possano generare un impatto di prezzo transitorio, riducendo il problema a un'equazione di Riccati differenziale (DRE).

4. Risultati Principali

A. La Liquidità come Strumento di Gestione del Rischio

L'LP non gestisce il rischio solo replicando dinamicamente la posizione nel CEX, ma regolando la quantità di liquidità fornita.

• Se l'avversione al rischio è alta rispetto ai costi di trading, l'LP adotta una replicazione aggressiva. Tuttavia, anticipando i costi elevati di tale replicazione, l'LP riduce ex ante la profondità della liquidità ($\kappa$) per limitare l'esposizione.
• Di conseguenza, la liquidità stessa diventa lo strumento primario di controllo del rischio: una liquidità più bassa riduce l'esposizione all'arbitraggio e ai costi di replicazione.

B. Determinanti della Fattibilità

La redditività e la sopravvivenza del DEX dipendono da:

1. Rapporto Avversione/Costi: Un rapporto $\psi$ elevato (alta avversione o alti costi di trading) riduce la liquidità di equilibrio e la redditività media, ma riduce anche la varianza dei rendimenti.
2. Informazione Privata (Effetto Non Monotono):
   • Per movimenti di prezzo moderati, i guadagni speculativi derivanti dall'uso dell'informazione privata dominano, incentivando un aumento della liquidità.
   • Per movimenti di prezzo grandi, i costi anticipati di selezione avversa e di replicazione (necessaria per gestire grandi variazioni di inventario) superano i benefici speculativi, portando a una contrazione della liquidità (mercati più sottili).

C. Analisi di Sensibilità (Mercati a Prodotto Costante)

• Volatilità Fondamentale: Un aumento della volatilità ($\sigma$) riduce la liquidità di equilibrio e aumenta la dispersione dei rendimenti, rendendo il DEX meno attraente.
• Costi di Trading CEX: Costi più alti ($\eta$) riducono la scala della liquidità fornita, ma non alterano il trade-off rischio-rendimento per unità di capitale investito (la redditività relativa rimane invariata, cambia solo la scala).
• Domanda di Liquidità: Una maggiore domanda di liquidità sensibile al prezzo (maggiori commissioni o volumi) aumenta sia la liquidità fornita che la redditività assoluta.

5. Significato e Implicazioni

Questo studio fornisce una comprensione fondamentale delle dinamiche di mercato nei DEX, evidenziando che:

• La sostenibilità della liquidità non è garantita solo dalla domanda, ma è vincolata dalla capacità degli LP di gestire il rischio in un ambiente con costi di transazione reali.
• I meccanismi di difesa degli LP in presenza di informazioni asimmetriche o alta volatilità non sono l'allargamento degli spread (come nei mercati tradizionali), ma la riduzione della profondità della liquidità offerta.
• Il modello offre un quadro teorico robusto per progettare meccanismi di incentivazione e fee structure nei DEX, sottolineando che ignorare i costi di replicazione e l'avversione al rischio porta a sovrastimare la fattibilità e la profondità dei mercati decentralizzati.

In sintesi, il paper dimostra che in un mercato strutturato dove DEX e CEX coesistono, la liquidità è un equilibrio dinamico tra incentivi di profitto, costi di gestione del rischio e informazioni private, dove la riduzione dell'offerta di liquidità può essere una risposta razionale e ottimale a condizioni di mercato avverse.