Equilibrium Liquidity and Risk Offsetting in Decentralised Markets

논문 제목: 탈중앙화 시장에서의 균형 유동성과 위험 상쇄 (Equilibrium Liquidity and Risk Offsetting in Decentralised Markets)
저자: Fayçal Drissi, Sebastian Jaimungal, Xuchen Wu
작성일: 2026 년 3 월 5 일 (예상)

이 논문은 탈중앙화 거래소 (DEX) 의 유동성 공급 (Liquidity Provision, LP) 의 경제적 타당성을 분석하기 위해 구조적 모델 (structural framework) 을 제시합니다. 기존 연구들이 유동성 공급 규모와 거래 조건을 외생적으로 가정하거나, 중앙화 거래소 (CEX) 에서의 위험 헤지가 무마찰 (frictionless) 이라고 가정한 것과 달리, 본 논문은 시장 결과를 내생적으로 도출하고 CEX 에서의 비용이 발생하는 동적 복제 전략을 고려합니다.

1. 연구 문제 (Problem)

• 배경: DEX 는 DeFi 의 핵심 구성 요소로 성장했으나, CEX 가 가격 발견 (price discovery) 을 주도하는 환경에서 DEX 유동성 공급이 지속 가능한지 여부는 불확실합니다.
• 핵심 문제:
  • 기존 문헌은 LP 의 수익과 위험을 평가할 때 유동성 공급 규모와 거래 조건을 외생적으로 취급하거나, CEX 에서의 위험 헤지 비용을 무시하는 경향이 있습니다.
  • 실제 DEX 환경에서는 유동성 재조정 (rebalancing) 에 가스비 (gas fee) 가 발생하여 빈번한 조정이 어렵고, CEX 에서의 거래는 거래 비용 (execution cost) 이 발생합니다.
  • 따라서, 유동성 공급 규모 (liquidity depth), 위험 회피 성향 (risk aversion), CEX 거래 비용, 사적 정보 (private information) 가 상호작용하여 DEX 유동성 공급의 균형과 타당성이 어떻게 결정되는지 규명해야 합니다.

2. 방법론 (Methodology)

논문은 3 단계 순차 게임 (sequential game) 으로 구성된 부분 균형 모델을 개발했습니다. 이 모델은 역순 귀납법 (backward induction) 으로 해를 구합니다.

• 참여자:

  1. 대표적 유동성 공급자 (LP): 독점적 위치를 가짐.
  2. 가격 민감형 노이즈 유동성 취자 (Noise LTs): 거래 비용에 반응하여 거래량을 결정.
  3. 차익거래자 (Arbitrageurs): DEX 의 한계 가격과 기초 자산의 기본 가치 (fundamental value) 를 일치시킴.

• 3 단계 프로세스:

  1. 1 단계 (유동성 공급 결정): LP 는 예상 수수료 수익과 CEX 에서의 복제 비용, 그리고 차익거래로 인한 역선택 비용 (adverse selection cost) 을 고려하여 초기 유동성 깊이 ($\kappa$) 를 결정합니다.
  2. 2 단계 (CEX 전략 결정): LP 는 DEX 의 유동성 깊이가 고정된 상태에서, 재고 위험 (inventory risk) 을 관리하기 위해 CEX 에서 동적 거래 전략을 수립합니다. 이 전략은 위험 회피 성향, 거래 비용, 그리고 기초 자산의 드리프트에 대한 사적 정보를 기반으로 합니다.
  3. 3 단계 (거래량 결정): 노이즈 LT 들이 DEX 의 유동성 깊이와 거래 비용을 관찰하여 최적 거래량을 결정합니다. 이는 LP 에게 수수료 수익을 창출합니다.

• 수학적 도구:

  • LP 의 CEX 최적화 문제는 볼록 분석 (convex analysis) 과 변분법 (variational methods) 을 사용하여 연결된 전진 - 후진 확률 미분 방정식 (FBSDE) 시스템으로 축소됩니다.
  • 일정한 곱 시장 (Constant Product Market, 예: Uniswap) 의 경우, 균형 유동성에 대한 폐쇄형 해 (closed-form solution) 를 유도합니다.
  • CEX 에서의 일시적 가격 영향 (transient price impact) 을 고려한 확장 모델에서는 리카티 미분 방정식 (Differential Riccati Equation, DRE) 을 통해 해의 존재성과 유일성을 증명합니다.

3. 주요 기여 및 결과 (Key Contributions & Results)

A. 유동성 깊이의 위험 관리 도구로서의 역할

• 핵심 발견: 유동성 공급 규모 ($\kappa$) 는 동적 복제 (dynamic replication) 와 마찬가지로 위험 관리의 핵심 수단입니다.
• 메커니즘: LP 는 CEX 에서의 거래 비용과 위험 회피 성향의 비율에 따라 복제의 강도를 조절합니다. 위험 회피 성향이 높거나 거래 비용이 높을수록 LP 는 CEX 에서 더 공격적으로 복제하려 하지만, 이로 인해 예상되는 비용이 증가합니다.
• 균형 결과: LP 는 이러한 비용을 사전에 (ex ante) 관리하기 위해 유동성 공급 규모를 줄이는 전략을 취합니다. 즉, 유동성 공급 자체가 위험 노출을 통제하는 주요 도구로 작용하며, 이는 기존 문헌에서 간과했던 중요한 통찰입니다.

B. 유동성 공급의 생존 가능성 결정 요인

유동성 공급의 생존 가능성은 단순한 수수료와 역선택의 트레이드오프를 넘어 다음 두 가지 요인에 의해 결정됩니다.

1. 위험 회피와 복제 비용의 비율:
   • 위험 회피 성향이 CEX 거래 비용에 비해 상대적으로 클수록 LP 는 더 공격적으로 복제하려 합니다. 이는 수익의 분산 (variance) 을 줄이지만, 복제 비용으로 인해 평균 수익률을 낮춥니다.
   • 극단적으로 위험 회피가 매우 높거나 거래 비용이 매우 높으면, LP 는 유동성 공급을 최소화하여 DEX 가 폐쇄될 위험을 감수합니다.
2. 사적 정보 (Private Information):
   • 사적 정보는 유동성 공급에 비단조적 (non-monotonic) 인 영향을 미칩니다.
   • 중등도의 가격 변동: 사적 정보로 인한 기대 수익 (speculative gains) 이 복제 비용과 역선택 비용을 상쇄하고 남을 때, 유동성 공급은 증가합니다.
   • 대규모 가격 변동: 예상되는 가격 변동이 너무 크면, 이에 따른 예상 재고 조정 비용과 복제 비용이 기대 수익을 압도하여 유동성 공급이 감소 (시장 얇아짐) 합니다. 이는 전통적인 시장 maker 가 스프레드를 넓히는 것과 유사한 방어적 메커니즘입니다.

C. 균형 유동성의 폐쇄형 해 및 비교 정적 분석

• 일정한 곱 시장 (CPM) 분석: Uniswap 과 같은 CPM 환경에서 균형 유동성 ($\kappa^*$) 에 대한 명시적 공식을 유도했습니다.
  • 유동성은 (수수료 수익 - 역선택 비용) 과 (사적 정보에 의한 투기적 요소) 의 합으로 표현됩니다.
  • 거래 비용 ($\eta$) 과 위험 회피 ($\phi$): 이 둘의 비율 ($\psi = \sqrt{\phi/2\eta}$) 이 복제 공격성을 결정합니다. $\psi$가 증가하면 (위험 회피가 강하거나 거래 비용이 낮을 때) LP 는 더 공격적으로 복제하려 하지만, 이에 따른 비용 증가를 예상하여 초기 유동성 공급을 줄입니다.
  • 기초 자산 변동성 ($\sigma$): 변동성이 증가하면 역선택 비용이 증가하여 균형 유동성이 감소합니다.
  • 수익성 ($\gamma$): 가격 민감형 수요의 수익성이 높을수록 유동성 공급이 증가합니다.

D. 수익 분포의 특성

• 위험 - 수익 트레이드오프: 위험 회피 성향이 높을수록 수익의 분산은 줄어들지만 평균 수익은 감소합니다.
• 거래 비용의 영향: CEX 거래 비용이 증가하면 유동성 공급 규모는 줄어들지만, 단위 자본당 수익 분포의 형태는 일정하게 유지됩니다 (규모 효과만 발생).

4. 의의 및 시사점 (Significance)

1. 이론적 기여:

   • DEX 유동성 공급의 생존 가능성을 내생적으로 결정하는 최초의 구조적 모델 중 하나입니다.
   • 유동성 공급 규모가 단순한 시장 깊이가 아니라, LP 가 CEX 거래 비용과 위험을 관리하기 위해 전략적으로 조절하는 내생적 변수임을 증명했습니다.
   • 사적 정보가 유동성 공급에 미치는 복잡한 영향 (투기적 이익 vs. 예상 비용 증가) 을 규명했습니다.

2. 실무적 시사점:

   • LP 전략: LP 는 단순히 수수료 수익만 고려해서는 안 되며, CEX 에서의 헤지 비용과 위험 회피 성향을 고려하여 유동성 깊이를 최적화해야 합니다. 특히 시장 변동성이 크거나 사적 정보가 큰 가격 변동을 예고할 때는 유동성을 축소하는 것이 합리적입니다.
   • DEX 설계: DEX 설계자는 유동성 공급자의 위험 관리 비용 (가스비 등) 을 고려해야 합니다. CEX 와의 연동 비용이 높을수록 DEX 내 유동성은 자연스럽게 감소할 수 있음을 시사합니다.
   • 시장 구조: DEX 가 CEX 와 공존하는 환경에서, DEX 의 유동성 공급은 CEX 의 가격 발견 기능과 밀접하게 연관되어 있으며, CEX 의 거래 비용과 유동성 깊이가 DEX 의 시장 효율성을 직접적으로 좌우합니다.

결론

이 논문은 DEX 유동성 공급이 단순한 수수료 수익 모델이 아니라, 위험 관리 비용, 사적 정보, 그리고 시장 구조적 제약이 복잡하게 얽힌 전략적 의사결정 과정임을 보여줍니다. 특히, LP 가 유동성 공급 규모 자체를 위험 관리 도구로 활용한다는 점은 기존 문헌을 넘어선 중요한 통찰을 제공하며, DEX 의 장기적 생존 가능성과 시장 설계에 대한 중요한 함의를 담고 있습니다.