Equilibrium Liquidity and Risk Offsetting in Decentralised Markets

1. Probleemstelling en Context

Het artikel onderzoekt de economische levensvatbaarheid van liquiditeitsverschaffing (Liquidity Provision - LP) in gedecentraliseerde beurzen (DEX's), zoals Uniswap, binnen een marktstructuur waar DEX's naast gecentraliseerde beurzen (CEX's) opereren.

• Het kernprobleem: Bestaande literatuur behandelt vaak de omvang van liquiditeit en handelsvoorwaarden als exogeen en neemt aan dat risico's in DEX's zonder wrijving (kostenloos) kunnen worden afgedekt (hedge) via een CEX. In werkelijkheid zijn transactiekosten op blockchains hoog (gas fees), is rebalancing niet continu mogelijk, en zijn DEX-posities blootgesteld aan "Loss-Versus-Rebalancing" (LVR) door arbitrageurs.
• De vraag: Hoe beïnvloeden endogene factoren zoals risicobereidheid, kosten van dynamische replicatie in een CEX, fundamentele volatiliteit en private informatie de evenwichtsliquiditeit en de winstgevendheid voor liquiditeitsverschaffers?

2. Methodologie

De auteurs ontwikkelen een structureel partiële evenwichtsmodel dat strategische interacties als een sequentieel spel formaliseert. Het model omvat drie soorten agenten: een representatieve (monopolistische) liquiditeitsverschaffer (LP), prijsgevoelige "noise" liquiditeitsnemers (LT's), en arbitrageurs.

Het probleem wordt opgelost via terugwaartse deductie (backward induction) in drie fasen:

• Fase 3 (Handelsvolumes): Noise LT's arriveren stochastisch en kiezen hun handelsvolumes op basis van hun private nut en de uitvoeringskosten in de DEX (die afhangen van de liquiditeitsdiepte $\kappa$ en de convexiteit van de prijsfunctie). Dit genereert fee-inkomsten voor de LP.
• Fase 2 (Risico-offsetting): De LP kiest een dynamische handelsstrategie in de CEX om de inventarisrisico's uit de DEX te beheren.
  • De LP maximaliseert het verwachte eindvermogen.
  • Er is een afweging tussen risicobereidheid (straf voor afwijking van perfecte replicatie van de DEX-reserves) en handelingskosten in de CEX (convexe uitvoeringskosten door marktimpact).
  • De LP kan ook beschikken over private informatie over de drift van de fundamentele prijs, wat leidt tot een speculatieve component in de strategie.
  • Wiskundig wordt dit probleem gemodelleerd als een variatieprobleem dat leidt tot een gekoppeld systeem van Forward-Backward Stochastic Differential Equations (FBSDE).
• Fase 1 (Liquiditeitsaanbod): De LP kiest de initiële liquiditeitsdiepte ($\kappa$) in de DEX. De LP anticipeert op de reactie van de LT's (fee-inkomsten), de kosten van arbitrage (LVR), en de kosten van het afdekken van risico's in de CEX (Fase 2).

Wiskundige Innovatie:
De auteurs gebruiken variatierekenen om het optimalisatieprobleem van de LP te reduceren. Ze tonen aan dat onder algemene convexe handelsfuncties en stochastische prijsignalen het systeem een gesloten vorm heeft. In het geval van permanente prijsimpact in de CEX (Appendix B) reduceert het probleem zich tot een differentiële Riccati-vergelijking (DRE).

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Liquiditeitsdiepte als Risicomanagementinstrument

Een centrale bevinding is dat de schaal van liquiditeit ($\kappa$) net zo belangrijk is als dynamische replicatie voor risicomanagement.

• De LP past de liquiditeitsaanbod ex ante aan om blootstelling te beheersen.
• Als de kosten van replicatie in de CEX hoog zijn of de risicobereidheid groot is, zal de LP de liquiditeitsdiepte verlagen om de verwachte toekomstige kosten en verliezen te beperken. Liquiditeit zelf wordt dus een strategische hefboom om risico te controleren.

B. Determinanten van Levensvatbaarheid

Naast de klassieke afweging tussen fee-inkomsten en adverse selection, identificeren de auteurs twee cruciale determinanten:

1. De verhouding tussen risicobereidheid en replicatiekosten ($\psi = \sqrt{\phi/2\eta}$):
   • Een hogere verhouding (meer risicobereidheid of lagere kosten) leidt tot agressievere replicatie in de CEX.
   • Dit verlaagt de variantie van het rendement, maar verhoogt de kosten, wat leidt tot een lagere evenwichtsliquiditeit en een lagere gemiddelde winstgevendheid.
   • Bij risiconeutraliteit (of zeer lage kosten) wordt de volledige budget aan liquiditeit toegewezen zolang de verwachte fees de adverse selection kosten overstijgen.
2. Private Informatie (Niet-monotoon effect):
   • Toegang tot informatie over toekomstige prijsbewegingen heeft geen lineair effect.
   • Matige prijsbewegingen: Speculatieve voordelen domineren, wat de liquiditeit verhoogt.
   • Grote prijsbewegingen: De verwachte adverse selection en de hoge kosten voor het aanpassen van de replicatie (om de grote reserveverschuivingen op te vangen) wegen zwaarder dan de speculatieve winst. Dit leidt tot dunnere markten (lagere liquiditeit).

C. Evenwichtsanalyse in Constante Product Markten (CPM)

Voor het specifieke geval van Uniswap-achtige markten (waar $x \cdot y = \kappa^2$), leiden de auteurs expliciete uitdrukkingen af voor de evenwichtsliquiditeit $\kappa^*$.

• De liquiditeit is een functie van de netto winstgevendheid van de vraag ($\gamma$) minus de adverse selection drempel ($\sigma^2/4$), gedeeld door de verwachte kosten van replicatie.
• Simulaties tonen aan dat toenemende fundamentele volatiliteit ($\sigma$) de liquiditeit en de gemiddelde rendementen verlaagt, terwijl een hogere winstgevendheid van de vraag ($\gamma$) beide verhoogt.

4. Significatie en Implicaties

• Theoretische Impact: Het artikel vult een gat in de literatuur door de levensvatbaarheid van DEX's volledig endogeen te maken. Het toont aan dat de "Loss-Versus-Rebalancing" (LVR) niet de enige factor is; de kosten van het managen van dit risico in een secundaire markt (CEX) zijn even bepalend.
• Praktische Implicaties voor DEX-ontwerp:
  • Liquiditeitsverschaffers zullen niet alleen reageren op fees, maar ook op de kosten van hedging. Als hedging duur is, zullen ze minder liquiditeit aanvoeren, wat de diepte van de markt vermindert.
  • De aanwezigheid van private informatie kan paradoxalerwijs leiden tot minder liquiditeit als de verwachte prijsdrift te groot is, omdat de kosten van het aanpassen van de positie te hoog worden.
• Risico-Rendement Profiel: Het model laat zien dat de verdeling van rendementen voor LP's sterk afhankelijk is van de risicobereidheid. Een agressieve hedging-strategie verlaagt de volatiliteit van rendementen maar kost meer, wat de netto winst vermindert.

Conclusie:
De paper concludeert dat de economische levensvatbaarheid van DEX's niet alleen wordt bepaald door de vraag naar liquiditeit en de kosten van arbitrage, maar fundamenteel wordt gevormd door de interactie tussen de risicobereidheid van de verschaffer en de kosten van het afdekken van risico's in een parallelle markt. Liquiditeitsverschaffers gebruiken de schaal van hun positie als een primair instrument om deze risico's te beheersen, wat leidt tot een endogeen evenwicht waarin markten kunnen "dunnen" bij hoge volatiliteit of hoge hedging-kosten.