$Γ$-convergence and homogenisation for free discontinuity functionals with linear growth in the space of functions with bounded deformation

Sintesi Tecnica: $\Gamma$-convergenza e Omogeneizzazione per Funzionali a Discontinuità Libera in $BD$

Enunciato del Problee
Il saggio affronta la $\Gamma$-convergenza di sequenze di funzionali a discontinuità libera con crescita lineare definiti nello spazio delle funzioni con deformazione limitata, $BD(U)$. Questo spazio consiste in campi vettoriali $u \in L^1(U; \mathbb{R}^d)$ il cui gradiente simmetrico distribuzionale $Eu$ è una misura di Radon limitata. Lo studio è motivato da applicazioni nell'elasto-plasticità e nella modellazione variazionale della meccanica della frattura (specificamente il modello di Francfort-Marigo), dove i funzionali di energia assumono tipicamente la forma:
$$F(u, U) = \int_U f(x, Eu) \, dx + \int_U f^\infty\left(x, \frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap U} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
Qui, l'energia comprende un termine di bulk, una parte Cantor (singolare rispetto alla misura di Lebesgue ma nulla su insiemi di misura di Hausdorff $(d-1)$-dimensionale finita), e un termine di superficie associato all'insieme di salto $J_u$. Gli autori investigano il comportamento asintotico di tali funzionali al variare del processo di omogeneizzazione, includendo sia l'ambito deterministico che quello stocastico.

Metodologia
Gli autori impiegano il classico metodo di localizzazione per la $\Gamma$-convergenza, adattato alle specifiche sfide del setting $BD$. La metodologia centrale prevede:

1. Compattatezza e Rappresentazione Astratta: Gli autori stabiliscono innanzitutto un teorema di compattatezza per sequenze di funzionali astratti che soddisfano specifici stimi di crescita, località e continuità. Dimostrano che ogni funzionale $\Gamma$-limite ammette una decomposizione in parti assolutamente continue, Cantor e di salto.
2. Rappresentazione Integrale tramite Problemi di Minimizzazione: Gli integrandi del funzionale limite sono caratterizzati come limiti di valori minimi di problemi di minimizzazione ausiliari su piccoli cubi. Nello specifico, l'integrando di bulk $f$ e l'integrando di superficie $g$ sono derivati dai limiti di $m_F(\ell_A, Q(x, \rho))/\rho^d$ e $m_F(u_{x,\zeta,\nu}, Q_\nu(x, \rho))/\rho^{d-1}$, rispettivamente.
3. Gestione della Parte Cantor: Un ostacolo tecnico significativo in $BD$ (rispetto a $BV$) è il trattamento della parte Cantor $E^c u$. I risultati precedenti in $BV$ si basavano sulla continuità uniforme rispetto alle traslazioni o su sofisticati argomenti di troncamento. Gli autori osservano che tali argomenti di troncamento non sono disponibili in $BD$. Invece, utilizzano una caratterizzazione della derivata di Radon-Nikodým della parte Cantor derivata da Caroccia, Focardi e Van Goethem [17], combinata con specifiche condizioni di crescita (definite nella Definizione 6.4) che controllano il tasso con cui gli integrandi si avvicinano alle loro funzioni di recessione. Ciò permette loro di dimostrare una piena rappresentazione integrale senza assumere l'invarianza per traslazione del funzionale limite.
4. Omogeneizzazione tramite Rescaling: Per studiare l'omogeneizzazione, gli autori considerano funzionali con coefficienti rapidamente oscillanti $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ e $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$. Utilizzano un cambio di variabili per relazionare i valori minimi dei funzionali oscillanti su piccoli cubi ai valori minimi del funzionale originale su grandi cubi.
5. Omogeneizzazione Stocastica: Per il caso stocastico, applicano il Teorema Ergodico Subadditivo di Akcoglu e Krengel per dimostrare l'esistenza quasi certa dei limiti che definiscono gli integrandi omogeneizzati.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema di Compattatezza (Teorema 4.1): Gli autori dimostrano che ogni sequenza di funzionali in una specifica classe $\mathcal{F}$ (che soddisfa crescita lineare e stimi di continuità) ammette una sottosequenza $\Gamma$-convergente nella topologia $L^1_{loc}$. Il funzionale limite appartiene alla stessa classe e soddisfa una proprietà di misura.
• Rappresentazione Integrale Parziale (Sezione 5): Stabiliscono che le parti assolutamente continue e di salto del funzionale limite possono essere rappresentate da funzionali integrali con integrandi definiti tramite problemi di cella (Lemma 5.3).
• Piena Rappresentazione Integrale (Teorema 7.1): Sotto ulteriori condizioni di crescita (Definizione 6.4) e assumendo che l'integrando di bulk sia indipendente dalla variabile spaziale $x$, gli autori forniscono una completa rappresentazione integrale per il funzionale limite, inclusa la parte Cantor. Il funzionale limite è mostrato essere:
  $$F(u, B) = \int_B f(Eu) \, dx + \int_B f^\infty\left(\frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap B} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
• Caratterizzazione dei $\Gamma$-limiti (Teorema 8.3): Il saggio fornisce condizioni sufficienti per la $\Gamma$-convergenza basate sull'esistenza di limiti di valori minimi su piccoli cubi. Se questi limiti esistono e sono indipendenti da $x$ (per il termine di bulk), la sequenza $\Gamma$- converge al funzionale definito da tali limiti.
• Omogeneizzazione Deterministica e Stocastica (Teoremi 9.7 e 10.6):
  • Gli autori dimostrano che per una vasta classe di funzionali con coefficienti oscillanti, il $\Gamma$-limite esiste ed è dato da un funzionale con integrandi costanti (omogeneizzati).
  • Nel setting stocastico, dimostrano l'esistenza quasi certa degli integrandi omogeneizzati utilizzando il Teorema Ergodico Subadditivo.
  • Viene scelta una specifica scalatura per il termine di superficie nel funzionale oscillante (Eq. 1.11) per evitare la necessità di argomenti di troncamento verticale, che non sono praticabili in $BD$.
• Relazione tra i Limiti di Bulk e di Superficie: Il saggio stabilisce che l'integrando di superficie omogeneizzato $g_{lim}$ è la funzione di recessione dell'integrando di bulk omogeneizzato $f_{lim}$ valutata al prodotto tensoriale simmetrizzato dei vettori di salto e normale (Eq. 9.27 e 10.3).

Significatività e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di estendere la teoria della $\Gamma$-convergenza e dell'omogeneizzazione per problemi a discontinuità libera dallo spazio delle funzioni a variazione limitata ($BV$) allo spazio delle funzioni con deformazione limitata ($BD$). Gli autori evidenziano che questa estensione è non banale a causa della mancanza di certe proprietà di approssimazione e dell'impossibilità di utilizzare argomenti di troncamento che sono standard in $BV$.

Nello specifico, gli autori notano che mentre i lavori precedenti in $BV$ (ad esempio, [16, 26, 30]) potevano gestire termini di superficie che non sono strettamente 1-omogenei mediante il troncamento, il loro approccio in $BD$ richiede che il termine di superficie sia positivamente 1-omogeneo nella variabile di salto $\zeta$ (o una scalatura specifica come in Eq. 1.11) per aggirare tali difficoltà. I risultati forniscono un quadro variazionale rigoroso per l'omogeneizzazione di materiali elasto-plastici e modelli di frattura coesiva dove la deformazione è descritta da funzioni $BD$, coprendo sia microstrutture periodiche che casuali. Il lavoro si basa ed estende i recenti risultati di Caroccia, Focardi e Van Goethem [17], adattandoli a un contesto in cui l'invarianza per traslazione non è assunta a priori.