$Γ$-convergence and homogenisation for free discontinuity functionals with linear growth in the space of functions with bounded deformation

기술 요약: $BD$공간에서의 자유 불연속 범함수에 대한$\Gamma$-수렴 및 균질화

문제 정의
본 논문은 유계 변형량($BD$) 공간의 함수들로 정의된 선형 성장 자유 불연속 범함수 수열의$\Gamma$-수렴을 다룬다.$BD(U)$공간은 벡터장$u \in L^1(U; \mathbb{R}^d)$중 대칭 분포 미분$Eu$가 유계 라돈 측도인 함수들의 집합으로 구성된다. 이 연구는 탄소성(elasto-plasticity) 응용 및 파괴 역학의 변분 모델링(특히 Francfort-Marigo 모델)에 의해 동기 부여되었으며, 여기서 에너지 범함수는 통상 다음과 같은 형태를 취한다:
$$F(u, U) = \int_U f(x, Eu) \, dx + \int_U f^\infty\left(x, \frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap U} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
여기서 에너지는 벌크(bulk) 항, 칸토어(Cantor) 부분(르베그 측도에 대해 특이하지만 유한한 $(d-1)$ 차원 하우스도르프 측도를 갖는 집합 위에서는 소멸하는 부분), 그리고 점프 집합 $J_u$와 관련된 표면 항으로 구성된다. 저자들은 이러한 범함수들이 결정론적 및 확률적 설정 모두에서 균질화를 겪을 때의 점근적 거동을 조사한다.

방법론
저자들은 $BD$설정의 특수한 어려움에 적응된,$\Gamma$-수렴을 위한 고전적인 국소화 방법(localisation method)을 채택한다. 핵심 방법론은 다음과 같다:

1. 콤팩트성 및 추상적 표현: 저자들은 특정 성장, 국소성 및 연속성 추정치를 만족하는 추상적 범함수 수열에 대한 콤팩트성 정리를 먼저 확립한다. 이들은 모든 $\Gamma$-극한 범함수가 절대 연속, 칸토어, 점프 부분의 분해를 가짐을 증명한다.
2. 최소화 문제를 통한 적분 표현: 극한의 적분 함수(integrands)는 작은 큐브 상에서의 보조 최소화 문제의 극한값으로 특징지어진다. 구체적으로, 벌크 적분 함수 $f$와 표면 적분 함수 $g$는 각각 $m_F(\ell_A, Q(x, \rho))/\rho^d$와 $m_F(u_{x,\zeta,\nu}, Q_\nu(x, \rho))/\rho^{d-1}$의 극한으로부터 유도된다.
3. 칸토어 부분의 처리: $BD$에서의 중요한 기술적 난관($BV$와 비교했을 때)은$E^c u$의 처리에 있다.$BV$에서의 기존 결과들은 평행 이동에 대한 균등 연속성이나 정교한 절단(truncation) 논증에 의존했다. 저자들은 $BD$에서는 이러한 절단 논증을 사용할 수 없음에 주목한다. 대신, 그들은 Caroccia, Focardi, Van Goethem [17]에 의해 도출된 칸토어 부분의 라돈-니코딤 미분에 대한 특징화를 활용하며, 적분 함수가 그 재귀 함수(recession functions)에 접근하는 속도를 제어하는 특정 성장 조건(정의 6.4에 명시됨)을 결합한다. 이를 통해 저자들은 극한 범함수의 평행 이동 불변성을 가정하지 않고도 완전한 적분 표현을 증명할 수 있다.
4. 재스케일링을 통한 균질화: 균질화를 연구하기 위해, 저자들은 빠르게 진동하는 계수를 가진 범함수 $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$와 $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$를 고려한다. 이들은 작은 큐브 상에서의 진동하는 범함수의 최소값이 큰 큐브 상에서의 원래 범함수의 최소값과 연관되도록 변수 변환을 활용한다.
5. 확률적 균질화: 확률적 경우를 위해, 저자들은 균질화된 적분 함수의 거의 확실한(almost sure) 존재성을 증명하기 위해 Akcoglu와 Krengel의 부가적 에르고딕 정리(Subadditive Ergodic Theorem)를 적용한다.

주요 기여 및 결과

• 콤팩트성 정리 (정리 4.1): 저자들은 특정 클래스 $\mathcal{F}$(선형 성장 및 연속성 추정치를 만족하는)에 속하는 범함수 수열이 $L^1_{loc}$ 위상에서 $\Gamma$-수렴하는 부분 수열을 가짐을 증명한다. 극한 범함수는 동일한 클래스에 속하며 측도 성질을 만족한다.
• 부분 적분 표현 (섹션 5): 극한 범함수의 절대 연속 부분과 점프 부분이 셀 문제(cell problems)를 통해 정의된 적분 범함수에 의해 표현될 수 있음을 확립한다 (보조정리 5.3).
• 완전 적분 표현 (정리 7.1): 추가적인 성장 조건(정의 6.4) 하에, 그리고 벌크 적분 함수가 공간 변수 $x$에 독립적이라고 가정할 때, 저자들은 칸토어 부분을 포함한 극한 범함수에 대한 완전한 적분 표현을 제공한다. 극한 범함수는 다음과 같다:
  $$F(u, B) = \int_B f(Eu) \, dx + \int_B f^\infty\left(\frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap B} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
• $\Gamma$-극한의 특징화 (정리 8.3): 본 논문은 작은 큐브 상에서의 최소값의 존재성에 기초하여 $\Gamma$-수렴에 대한 충분 조건을 제공한다. 만약 이 극한들이 존재하고 (벌크 항의 경우) $x$에 독립적이라면, 수열은 이 극한들에 의해 정의된 범함수로 $\Gamma$-수렴한다.
• 결정론적 및 확률적 균질화 (정리 9.7 및 10.6):
  • 저자들은 진동하는 계수를 가진 광범위한 범함수 클래스에 대해, $\Gamma$-극한이 상수(균질화된) 적분 함수를 갖는 범함수로 존재함을 증명한다.
  • 확률적 설정에서, 저자들은 부가적 에르고딕 정리를 사용하여 균질화된 적분 함수의 거의 확실한 존재성을 증명한다.
  • $BD$에서 실행 불가능한 수직 절단 논증을 피하기 위해, 진동하는 범함수의 표면 항에 대한 특정 스케일링(식 1.11)이 선택되었다.
• 벌크와 표면 극한 사이의 관계: 본 논문은 균질화된 표면 적분 함수 $g_{lim}$이 점프 및 법선 벡터의 대칭 텐서 곱에서 평가된 균질화된 벌크 적분 함수 $f_{lim}$의 재귀 함수임을 확립한다 (식 9.27 및 10.3).

의의 및 주장
본 논문은 자유 불연속 문제를 다루는 $\Gamma$-수렴 및 균질화 이론을 유계 변동량($BV$) 공간에서 유계 변형량($BD$) 공간으로 확장한다고 주장한다. 저자들은 이러한 확장이 근사 성질의 부족과$BV$에서 표준적인 절단 논증을 사용할 수 없다는 점 때문에 매우 까다롭다는 점을 강조한다.

구체적으로, 저자들은 $BV$에서의 이전 연구들(예: [16, 26, 30])이 절단을 사용하여 엄격하게 1-동차(1-homogeneous)가 아닌 표면 항을 다룰 수 있었던 반면, $BD$에서의 접근 방식은$BD$에서 실행 불가능한 수직 절단 문제를 우회하기 위해 표면 항이 점프 변수$\zeta$에 대해 양의 1-동차(또는 식 1.11과 같은 특정 스케일링)를 가져야 함을 언급한다. 이 결과는 변형이$BD$ 함수로 기술되는 탄소성 재료 및 응집 파괴 모델의 균질화를 위한 엄밀한 변분 프레임워크를 제공하며, 주기적 또는 무작위 미세 구조를 모두 포괄한다. 이 작업은 Caroccia, Focardi, Van Goethem [17]의 최근 결과를 활용하고 확장하며, 평행 이동 불변성이 사전에 가정되지 않은 설정에 맞게 조정하였다.