$Γ$-convergence and homogenisation for free discontinuity functionals with linear growth in the space of functions with bounded deformation

技術要約：$BD$における自由不連続汎関数の$\Gamma$-収束とホモジナイゼーション

問題設定
本論文は、有界変形関数（$BD$）の空間上に定義された、線形成長を持つ自由不連続汎関数の列の$\Gamma$-収束について扱っている。この空間は、ベクトル場$u \in L^1(U; \mathbb{R}^d)$であり、その対称分布微分$Eu$が有界ラドン測度であるような$u$ から構成される。この研究は、弾塑性学や破壊力学の変分モデリング（特にフラン・マリゴ・モデル）への応用を動機としている。そこでのエネルギー汎関数は、通常以下の形式をとる：
$$F(u, U) = \int_U f(x, Eu) \, dx + \int_U f^\infty\left(x, \frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap U} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
ここで、エネルギーはバルク項、カントール部分（ルベーグ測度に対して特異であるが、有限の $(d-1)$ 次元ハウスドルフ測量を持つ集合上では消滅する）、およびジャンプ集合 $J_u$ に関連する表面項で構成される。著者らは、このような汎関数がホモジナイゼーションを受ける際の、決定論的および確率論的な設定の両方における漸近挙動を調査している。

手法
著者らは、$\Gamma$-収束のための古典的な局所化手法を用いているが、これは $BD$ 設定における特有の課題に適応させたものである。核となる手法は以下の通りである：

1. コンパクト性と抽象的表現： 著者らはまず、特定の成長、局所性、および連続性の評価を満たす抽象的な汎関数の列に対するコンパクト性定理を確立する。彼らは、任意の $\Gamma$-極限汎関数が、絶対連続部分、カントール部分、およびジャンプ部分の分解を持つことを証明する。
2. 最小化問題による積分表現： 極限の汎関数の被積分関数は、小さな立方体上の補助的な最小化問題の最小値の極限として特徴付けられる。具体的には、バルク被積分関数 $f$ と表面被積分関数 $g$ は、それぞれ $m_F(\ell_A, Q(x, \rho))/\rho^d$ および $m_F(u_{x,\zeta,\nu}, Q_\nu(x, \rho))/\rho^{d-1}$ の極限として導かれる。
3. カントール部分の取り扱い： $BV$と比較した$BD$における重大な技術的障壁は、カントール部分$E^c u$の取り扱いである。$BV$ における先行研究は、平行移動に関する一様連続性または高度な切断（truncation）引数に依存していた。著者らは、$BD$ ではそのような切断引数が利用できないことを指摘している。代わりに、彼らは、被積分関数がその漸近関数（recession functions）に接近する速度を制御する特定の成長条件（定義6.4による）と組み合わせて、Caroccia, Focardi, および Van Goethem [17] によって導かれたカントール部分のラドン・ニコディム微分の特徴付けを利用する。これにより、極限汎関数の平行移動不変性を仮定することなく、完全な積分表現を証明することが可能となる。
4. リスケーリングによるホモジナイゼーション： ホモジナイゼーションを研究するために、著者らは急速に振動する係数 $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ および $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$ を持つ汎関数を検討する。彼らは、小さな立方体上の振動する汎関数の最小値を、大きな立方体上の元の汎関数の最小値に関連付けるための変数変換を利用する。
5. 確率的ホモジナイゼーション： 確率的なケースについては、ホモジナイズされた被積分関数の極限のほとんど確実な存在を証明するために、Akcoglu および Krengel の劣加法的エルゴード定理を適用する。

主要な貢献と結果

• コンパクト性定理 (Theorem 4.1): 著者らは、特定のクラス $\mathcal{F}$（線形成長および連続性評価を満たす）に属する汎関数の列が、$L^1_{loc}$ 位相において $\Gamma$-収束する部分列を持つことを証明する。極限汎関数は同じクラスに属し、測度特性を満たす。
• 部分的積分表現 (Section 5): 著者らは、絶対連続部分およびジャンプ部分の極限汎関数が、セル問題によって定義される被積分関数を持つ積分汎関数によって表現できることを確立する (Lemma 5.3)。
• 完全な積分表現 (Theorem 7.1): 追加の成長条件（定義6.4）の下で、かつバルク被積分関数の極限が空間変数 $x$ に依存しないと仮定した場合、著者らはカントール部分を含む極限汎関数の完全な積分表現を与える。極限汎関数は以下のようになる：
  $$F(u, B) = \int_B f(Eu) \, dx + \int_B f^\infty\left(\frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap B} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
• $\Gamma$-極限の特性付け (Theorem 8.3): 本論文は、小さな立方体上の最小値の極限の存在に基づく $\Gamma$-収束の十分条件を提供する。もしこれらの極限が存在し、かつ（バルク項に関して）$x$ に依存しないならば、その列はこれらの極限によって定義される汎関数へと $\Gamma$-収束する。
• 決定論的および確率的ホモジナイゼーション (Theorems 9.7 および 10.6):
  • 著者らは、振動する係数を持つ広範なクラスの汎関数に対し、$\Gamma$-極限が存在し、それが一定（ホモジナイズされた）被積分関数を持つ汎関数によって与えられることを証明する。
  • 確率的な設定において、劣加法的エルゴード定理を用いて、ホモジナイズされた被積分関数のほとんど確実な存在を証明する。
  • $BD$ では実行不可能である垂直方向の切断引数の必要性を回避するため、振動する汎関数の表面項に対して特定のスケーリング（式1.11）が選択されている。
• バルク極限と表面極限の関係: 本論文は、ホモジナイズされた表面被積分関数 $g_{lim}$ が、ジャンプおよび法線ベクトルの対称化されたテンソル積において評価された、ホモジナイズされたバルク被積分関数 $f_{lim}$ の漸近関数であることを確立している (式9.27 および 10.3)。

意義および主張
本論文は、自由不連続問題の $\Gamma$-収束およびホモジナイゼーションの理論を、有界変動関数 ($BV$) の空間から有界変形関数 ($BD$) の空間へと拡張することを主張している。著者らは、この拡張が、近似特性の欠如や、$BV$ において標準的な切断引数が利用できないことにより、非自明であることを強調している。

具体的には、著者らは、以前の $BV$における研究（例：[16, 26, 30]）では、切断を用いることで厳密に1次同次ではない表面項を扱うことができたが、本研究における$BD$でのアプローチでは、困難を回避するために表面項がジャンプ変数$\zeta$に対して正の1次同次であること（または式1.11のような特定のスケーリング）を必要とすることを指摘している。これらの結果は、変形が$BD$ 関数によって記述される弾塑性材料や凝集破壊モデルのホモジナイゼーションのための、厳密な変分フレームワークを提供するものであり、周期的な微細構造とランダムな微細構造の両方をカバーしている。この研究は、Caroccia, Focardi, および Van Goethem [17] による最近の結果に基づき、かつそれを拡張したものであり、平行移動不変性が事前には仮定されていない設定へと適応させている。