$Γ$-convergence and homogenisation for free discontinuity functionals with linear growth in the space of functions with bounded deformation

Technische Samenvatting: $\Gamma$-convergentie en Homogenisatie voor Vrije Discontinuïteitsfunctionalen in BD

Probleemstelling
Het artikel behandelt de $\Gamma$-convergentie van sequenties van vrije discontinuïteitsfunctionalen met lineaire groei gedefinieerd op de ruimte van functies met begrensde deformatie, $BD(U)$. Deze ruimte bestaat uit vectorfelden $u \in L^1(U; \mathbb{R}^d)$ waarvan de symmetrische distributionele gradiënt $Eu$ een begrensde Radonmaat is. De studie wordt gemotiveerd door toepassingen in de elastoplastiek en de variationele modellering van breukmechanica (specifiek het Francfort-Marigo-model), waarbij energiefunctionalen doorgaans de vorm hebben:
$$F(u, U) = \int_U f(x, Eu) \, dx + \int_U f^\infty\left(x, \frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap U} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
Hier bestaat de energie uit een bulkterm, een Cantor-deel (singulier ten opzichte van de Lebesgue-maat maar verdwijnend op verzamelingen van eindige $(d-1)$-dimensionale Hausdorff-maat), en een oppervlakteterm geassocieerd met de sprongverzameling $J_u$. De auteurs onderzoeken het asymptotische gedrag van dergelijke functionalen wanneer deze ondergaan aan homogenisatie, zowel in deterministische als stochastische settings.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de klassieke lokalisatiemethode voor $\Gamma$-convergentie, aangepast aan de specifieke uitdagingen van de $BD$-setting. De kernmethodologie omvat:

1. Compactheid en Abstracte Representatie: De auteurs vestigen eerst een compactheidstheorema voor sequenties van abstracte functionalen die voldoen aan specifieke groei-, lokaliteit- en continuïteitsmaten. Zij bewijzen dat elk $\Gamma$-limietfunctional een decompositie bezit in absoluut continue, Cantor- en sprongdelen.
2. Integrale Representatie via Minimalisatieproblemen: De integranden van het limietfunctional worden gekarakteriseerd als limieten van minimumwaarden van hulp-minimalisatieproblemen op kleine kubussen. Specifiek worden de bulk-integraand $f$ en de oppervlakte-integraand $g$ afgeleid als limieten van $m_F(\ell_A, Q(x, \rho))/\rho^d$ en $m_F(u_{x,\zeta,\nu}, Q_\nu(x, \rho))/\rho^{d-1}$, respectievelijk.
3. Behandeling van het Cantor-deel: Een aanzienlijke technische hindernis in $BD$ (vergeleken met $BV$) is de behandeling van het Cantor-deel $E^c u$. Eerdere resultaten in $BV$ vertrouwden op uniforme continuïteit ten opzichte van translaties of geavanceerde afkapargumenten (truncation arguments). De auteurs merken op dat dergelijke afkapargumenten niet beschikbaar zijn in $BD$. In plaats daarvan gebruiken zij een karakterisering van de Radon-Nikodým-afgeleide van het Cantor-deel afgeleid van Caroccia, Focardi en Van Goethem [17], gecombineerd met specifieke groeivoorwaarden (gedefinieerd in Definitie 6.4) die de snelheid controleren waarmee de integranden hun recessiefuncties benaderen. Dit stelt hen in staat om een volledige integrale representatie te bewijzen zonder aan te nemen dat de limietfunctional translatie-invariant is.
4. Homogenisatie via Rescalering: Om homogenisatie te bestuderen, beschouwen de auteurs functionalen met snel oscillerende coëfficiënten $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ en $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$. Zij gebruiken een verandering van variabelen om de minimumwaarden van de oscillerende functionalen op kleine kubussen te relateren aan de minimumwaarden van de oorspronkelijke functionaal op grote kubussen.
5. Stochastische Homogenisatie: Voor het stochastische geval passen de auteurs de subadditieve ergodische stelling van Akcoglu en Krengel toe om de bijna zekere existentie van de limieten die de gehomogeniseerde integranden definiëren, te bewijzen.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Compactheidstheorema (Theorem 4.1): De auteurs bewijzen dat elke sequentie van functionalen in een specifieke klasse $\mathcal{F}$ (die voldoet aan lineaire groei en continuïteitsmaten) een $\Gamma$-convergente subseqentie toelaat in de $L^1_{loc}$-topologie. Het limietfunctional behoort tot dezelfde klasse en voldoet aan een maat-eigenschap.
• Partiële Integrale Representatie (Sectie 5): Zij stellen vast dat de absoluut continue delen en de sprongdelen van het limietfunctional gerepresenteerd kunnen worden door integrale functionalen met integranden gedefinieerd via celproblemen (Lemma 5.3).
• Volledige Integrale Representatie (Theorem 7.1): Onder aanvullende groeivoorwaarden (Definitie 6.4) en onder de aanname dat de bulk-integraand onafhankelijk is van de ruimtelijke variabele $x$, bieden de auteurs een volledige integrale representatie voor het limietfunctional, inclusief het Cantor-deel. Het limietfunctional wordt getoond te zijn:
  $$F(u, B) = \int_B f(Eu) \, dx + \int_B f^\infty\left(\frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap B} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
• Karakterisering van $\Gamma$-limieten (Theorem 8.3): Het artikel biedt voldoende voorwaarden voor $\Gamma$-convergentie op basis van de existentie van limieten van minimumwaarden op kleine kubussen. Indien deze limieten bestaan en onafhankelijk zijn van $x$ (voor de bulkterm), convergeert de sequentie $\Gamma$ naar de functionaal gedefinieerd door deze limieten.
• Deterministische en Stochastische Homogenisatie (Theorems 9.7 en 10.6):
  • De auteurs bewijzen dat voor een grote klasse van functionalen met oscillerende coëfficiënten de $\Gamma$-limiet bestaat en gegeven wordt door een functionaal met constante (gehomogeniseerde) integranden.
  • In de stochastische setting bewijzen zij de bijna zekere existentie van de gehomogeniseerde integranden met behulp van de subadditieve ergodische stelling.
  • Een specifieke schaling is gekozen voor de oppervlakte-term in de oscillerende functionaal (Eq. 1.11) om de noodzaak voor verticale afkapargumenten te vermijden, die niet haalbaar zijn in $BD$.
• Relatie tussen Bulk- en Oppervlakte-limieten: Het artikel stelt vast dat de gehomogeniseerde oppervlakte-integraand $g_{lim}$ de recessiefunctie is van de gehomogeniseerde bulk-integraand $f_{lim}$, geëvalueerd bij het gesymmetriseerde tensorproduct van de sprong- en normaalvectoren (Eq. 9.27 en 10.3).

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de theorie van $\Gamma$-convergentie en homogenisatie voor vrije discontinuïteitsproblemen uit te breiden van de ruimte van functies met begrensde variatie ($BV$) naar de ruimte van functies met begrensde deformatie ($BD$). De auteurs benadrukken dat deze uitbreiding niet triviaal is vanwege het gebrek aan bepaalde benaderingseigenschappen en het onvermogen om afkapargumenten te gebruiken die standaard zijn in $BV$.

Specifiek merken de auteurs op dat, terwijl eerdere werken in $BV$ (bijv. [16, 26, 30]) oppervlakte-termen konden behandelen die niet strikt 1-homogeen zijn door middel van afkapping, hun aanpak in $BD vereist dat de oppervlakte-term positief 1-homogeen is in de sprongvariabele $\zeta$ (of een specifieke schaling zoals in Eq. 1.11) om deze moeilijkheden te omzeilen. De resultaten bieden een rigoureus variationeel kader voor de homogenisatie van elastoplastische materialen en cohesieve breukmodellen waarbij de deformatie wordt beschreven door $BD$-functies, waarbij zowel periodieke als willekeurige microstructuren worden gedekt. Het werk steunt op en breidt recente resultaten van Caroccia, Focardi en Van Goethem [17] uit, waarbij het wordt aangepast aan een setting waarin translatie-invariantie niet a priori wordt aangenomen.