$Γ$-convergence and homogenisation for free discontinuity functionals with linear growth in the space of functions with bounded deformation

Resumen Técnico: $\Gamma$-convergencia y Homogeneización para Funcionales de Discontinuidad Libre en $BD$

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la $\Gamma$-convergencia de sucesiones de funcionales de discontinuidad libre con crecimiento lineal definidos en el espacio de funciones de deformación acotada, $BD(U)$. Este espacio consiste en campos vectoriales $u \in L^1(U; \mathbb{R}^d)$ cuyo gradiente simétrico distribucional $Eu$ es una medida de Radon acotada. El estudio está motivado por aplicaciones en elastoplasticidad y en el modelado variacional de la mecánica de fractura (específicamente el modelo de Francfort-Marigo), donde los funcionales de energía suelen tomar la forma:
$$F(u, U) = \int_U f(x, Eu) \, dx + \int_U f^\infty\left(x, \frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap U} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
Aquí, la energía comprende un término de volumen (bulk), una parte de Cantor (singular con respecto a la medida de Lebesgue pero que se anula en conjuntos de medida de Hausdorff de dimensión $(d-1)$ finita), y un término de superficie asociado al conjunto de salto $J_u$. Los autores investigan el comportamiento asintótico de tales funcionales cuando experimentan homogeneización, incluyendo entornos tanto deterministas como estocásticos.

Metodología
Los autores emplean el método de localización clásico para la $\Gamma$-convergencia, adaptado a los desafíos específicos del entorno $BD$. La metodología central consiste en:

1. Compacidad y Representación Abstracta: Los autores establecen primero un teorema de compacidad para sucesiones de funcionales abstractos que satisfacen estimaciones específicas de crecimiento, localidad y continuidad. Demuestran que cualquier funcional $\Gamma$-limite admite una descomposición en partes absolutamente continuas, de Cantor y de salto.
2. Representación Integral vía Problemas de Minimización: Los integrandos del funcional límite se caracterizan como límites de valores mínimos de problemas de minimización auxiliares en cubos pequeños. Específicamente, el integrando de volumen $f$ y el integrando de superficie $g$ se derivan de los límites de $m_F(\ell_A, Q(x, \rho))/\rho^d$ y $m_F(u_{x,\zeta,\nu}, Q_\nu(x, \rho))/\rho^{d-1}$, respectivamente.
3. Tratamiento de la Parte de Cantor: Un obstáculo técnico significativo en $BD$ (en comparación con $BV$) es el tratamiento de la parte de Cantor $E^c u$. Los resultados previos en $BV$ dependían de la continuidad uniforme con respecto a las traslaciones o de argumentos de truncamiento sofisticados. Los autores señalan que tales argumentos de truncamiento no están disponibles en $BD$. En su lugar, utilizan una caracterización de la derivada de Radon-Nikodým de la parte de Cantor derivada por Caroccia, Focardi y Van Goethem [17], combinada con condiciones de crecimiento específicas (definidas en la Definición 6.4) que controlan la tasa a la que los integrandos se aproximan a sus funciones de recesión. Esto les permite demostrar una representación integral completa sin asumir la invarianza por traslación del funcional límite.
4. Homogeneización mediante Reescalado: Para estudiar la homogeneización, los autores consideran funcionales con coeficientes rápidamente oscilantes $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ y $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$. Utilizan un cambio de variables para relacionar los valores mínimos de los funcionales oscilantes en cubos pequeños con los valores mínimos del funcional original en cubos grandes.
5. Homogeneización Estocástica: Para el caso estocástico, aplican el Teorema Ergódico Subaditivo de Akcoglu y Krengel para demostrar la existencia casi segura de los límites que definen los integrandos homogeneizados.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema de Compacidad (Teorema 4.1): Los autores demuestran que cualquier sucesión de funcionales en una clase específica $\mathcal{F}$ (que satisface crecimiento lineal y estimaciones de continuidad) admite una subsucesión $\Gamma$-convergente en la topología $L^1_{loc}$. El funcional límite pertenece a la misma clase y satisface una propiedad de medida.
• Representación Integral Parcial (Sección 5): Establecen que las partes absolutamente continuas y de salto del funcional límite pueden representarse mediante funcionales integrales con integrandos definidos mediante problemas de celda (Lema 5.3).
• Representación Integral Completa (Teorema 7.1): Bajo condiciones de crecimiento adicionales (Definición 6.4) y asumiendo que el integrando de volumen es independiente de la variable espacial $x$, los autores proporcionan una representación integral completa para el funcional límite, incluyendo la parte de Cantor. El funcional límite es:
  $$F(u, B) = \int_B f(Eu) \, dx + \int_B f^\infty\left(\frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap B} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
• Caracterización de los $\Gamma$-límites (Teorema 8.3): El artículo proporciona condiciones suficientes para la $\Gamma$-convergencia basadas en la existencia de límites de valores mínimos en cubos pequeños. Si estos límites existen y son independientes de $x$ (para el término de volumen), la sucesión $\Gamma$-converge al funcional definido por estos límites.
• Homogeneización Determinista y Estocástica (Teoremas 9.7 y 10.6):
  • Los autores demuestran que para una amplia clase de funcionales con coeficientes oscilantes, el $\Gamma$-límite existe y viene dado por un funcional con integrandos constantes (homogeneizados).
  • En el entorno estocástico, demuestran la existencia casi segura de los integrandos homogeneizados utilizando el Teorema Ergódico Subaditivo.
  • Se elige un escalado específico para el término de superficie en el funcional oscilante (Eq. 1.11) para evitar la necesidad de argumentos de truncamiento vertical, los cuales no son factibles en $BD$.
• Relación entre los Límites de Volumen y de Superficie: El artículo establece que el integrando de superficie homogeneizado $g_{lim}$ es la función de recesión del integrando de volumen homogeneizado $f_{lim}$ evaluada en el producto tensorial simétrico de los vectores de salto y normal (Eq. 9.27 y 10.3).

Significado y Pretensiones
El artículo pretende extender la teoría de la $\Gamma$-convergencia y la homogeneización para problemas de discontinuidad libre desde el espacio de funciones de variación acotada ($BV$) hacia el espacio de funciones de deformación acotada ($BD$). Los autores destacan que esta extensión es no trivial debido a la falta de ciertas propiedades de aproximación y la imposibilidad de utilizar argumentos de truncamiento que son estándar en $BV$.

Específicamente, los autores señalan que, mientras trabajos previos en $BV$ (por ejemplo, [16, 26, 30]) podían manejar términos de superficie que no son estrictamente 1-homogéneos mediante el uso de truncamiento, su enfoque en $BD$ requiere que el término de superficie sea positivamente 1-homogéneo en la variable de salto $\zeta$ (o un escalado específico como en la Eq. 1.11) para sortear estas dificultades. Los resultados proporcionan un marco variacional riguroso para la homogeneización de materiales elastoplásticos y modelos de fractura cohesiva donde la deformación se describe mediante funciones de $BD$, cubriendo tanto microestructuras periódicas como aleatorias. El trabajo se apoya en y extiende los resultados recientes de Caroccia, Focardi y Van Goethem [17], adaptándolos a un entorno donde no se asume la invarianza por traslación a priori.