$Γ$-convergence and homogenisation for free discontinuity functionals with linear growth in the space of functions with bounded deformation

Resumo Técnico: $\Gamma$-Convergência e Homogeneização para Funcionais de Descontinuidade Livre em $BD$

Enunciado do Problema
O artigo aborda a $\Gamma$-convergência de sequências de funcionais de descontinuidade livre com crescimento linear definidos no espaço de funções com deformação limitada, $BD(U)$. Este espaço consiste em campos vetoriais $u \in L^1(U; \mathbb{R}^d)$ cujo gradiente distributivo simétrico $Eu$ é uma medida de Radon limitada. O estudo é motivado por aplicações em elastoplasticidade e na modelagem variacional da mecânica da fratura (especificamente o modelo de Francfort-Marigo), onde os funcionais de energia assumem tipicamente a forma:
$$F(u, U) = \int_U f(x, Eu) \, dx + \int_U f^\infty\left(x, \frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap U} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
Aqui, a energia compreende um termo de volume (bulk), uma parte de Cantor (singular em relação à medida de Lebesgue, mas nula em conjuntos de medida de Hausdorff $(d-1)$-dimensional finita) e um termo de superfície associado ao conjunto de salto $J_u$. Os autores investigam o comportamento assintótico de tais funcionais quando estes passam por homogeneização, incluindo configurações determinísticas e estocásticas.

Metodologia
Os autores empregam o método de localização clássico para $\Gamma$-convergência, adaptado aos desafios específicos do ambiente $BD$. A metodologia central envolve:

1. Compacidade e Representação Abstrata: Os autores estabelecem primeiro um teorema de compacidade para sequências de funcionais abstratos que satisfazem estimativas específicas de crescimento, localidade e continuidade. Eles provam que qualquer funcional $\Gamma$-limite admite uma decomposição em partes absolutamente contínuas, de Cantor e de salto.
2. Representação Integral via Problemas de Minimização: Os integrandos do funcional limite são caracterizados como limites de valores mínimos de problemas de minimização auxiliares em pequenos cubos. Especificamente, o integrando de volume $f$ e o integrando de superfície $g$ são derivados de limites de $m_F(\ell_A, Q(x, \rho))/\rho^d$ e $m_F(u_{x,\zeta,\nu}, Q_\nu(x, \rho))/\rho^{d-1}$, respectivamente.
3. Tratamento da Parte de Cantor: Um obstáculo técnico significativo em $BD$ (em comparação com $BV$) é o tratamento da parte de Cantor $E^c u$. Resultados anteriores em $BV$ baseavam-se na continuidade uniforme em relação a translações ou argumentos de truncamento sofisticados. Os autores observam que tais argumentos de truncamento não estão disponíveis em $BD$. Em vez disso, utilizam uma caracterização da derivada de Radon-Nikodým da parte de Cantor derivada por Caroccia, Focardi e Van Goethem [17], combinada com condições de crescimento específicas (definidas na Definição 6.4) que controlam a taxa com que os integrandos se aproximam de suas funções de recessão. Isso permite que provem uma representação integral completa sem assumir a invariância por translação do funcional limite.
4. Homogeneização via Reescalonamento: Para estudar a homogeneização, os autores consideram funcionais com coeficientes oscilantes rapidamente $f(x/\varepsilon_n, \cdot)$ e $g(x/\varepsilon_n, \cdot)$. Eles utilizam uma mudança de variáveis para relacionar os valores mínimos dos funcionais oscilantes em pequenos cubos aos valores mínimos do funcional original em grandes cubos.
5. Homogeneização Estocástica: Para o caso estocástico, os autores aplicam o Teorema Ergódico Subaditivo de Akcoglu e Krengel para provar a existência quase certa dos limites que definem os integrandos homogeneizados.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema de Compacidade (Teorema 4.1): Os autores provam que qualquer sequência de funcionais em uma classe específica $\mathcal{F}$ (satisfazendo crescimento linear e estimativas de continuidade) admite uma subsequência $\Gamma$-convergente na topologia $L^1_{loc}$. O funcional limite pertence à mesma classe e satisfaz uma propriedade de medida.
• Representação Integral Parcial (Seção 5): Estabelecem que as partes absolutamente contínua e de salto do funcional limite podem ser representadas por funcionais integrais com integrandos definidos via problemas de célula (Lema 5.3).
• Representação Integral Completa (Teorema 7.1): Sob condições de crescimento adicionais (Definição 6.4) e assumindo que o integrando de volume é independente da variável espacial $x$, os autores fornecem uma representação integral completa para o funcional limite, incluindo a parte de Cantor. O funcional limite é mostrado como sendo:
  $$F(u, B) = \int_B f(Eu) \, dx + \int_B f^\infty\left(\frac{dE^c u}{d|E^c u|}\right) \, d|E^c u| + \int_{J_u \cap B} g(x, [u], \nu_u) \, d\mathcal{H}^{d-1}$$
• Caracterização de $\Gamma$-limites (Teorema 8.3): O artigo fornece condições suficientes para $\Gamma$-convergência baseadas na existência de limites de valores mínimos em pequenos cubos. Se esses limites existem e são independentes de $x$ (para o termo de volume), a sequência $\Gamma$-converge para o funcional definido por esses limites.
• Homogeneização Determinística e Estocástica (Teoremas 9.7 e 10.6):
  • Os autores provam que, para uma ampla classe de funcionais com coeficientes oscilantes, o $\Gamma$-limite existe e é dado por um funcional com integrandos constantes (homogeneizados).
  • No cenário estocástico, provam a existência quase certa dos integrandos homogeneizados usando o Teorema Ergódico Subaditivo.
  • Uma escala específica é escolhida para o termo de superfície no funcional oscilante (Eq. 1.11) para evitar a necessidade de argumentos de truncamento vertical, que não são viáveis em $BD$.
• Relação entre os Limites de Volume e de Superfície: O artigo estabelece que o integrando de superfície homogeneizado $g_{lim}$ é a função de recessão do integrando de volume homogeneizado $f_{lim}$ avaliada no produto tensorial simetrizado dos vetores de salto e normal (Eq. 9.27 e 10.3).

Significância e Alegações
O artigo afirma estender a teoria da $\Gamma$-convergência e homogeneização para problemas de descontinuidade livre do espaço de funções de variação limitada ($BV$) para o espaço de funções de deformação limitada ($BD$). Os autores destacam que esta extensão é não trivial devido à falta de certas propriedades de aproximação e à incapacidade de usar argumentos de truncamento que são padrão em $BV$.

Especificamente, os autores observam que, enquanto trabalhos anteriores em $BV$ (ex: [16, 26, 30]) podiam lidar com termos de superfície que não são estritamente 1-homogêneos usando truncamento, sua abordagem em $BD$ exige que o termo de superfície seja positivamente 1-homogêneo na variável de salto $\zeta$ (ou uma escala específica como em Eq. 1.11) para contornar essas dificuldades. Os resultados fornecem um arcabouço variacional rigoroso para a homogeneização de materiais elastoplásticos e modelos de fratura coesiva onde a deformação é descrita por funções $BD$, cobrindo microestruturas tanto periódicas quanto aleatórias. O trabalho baseia-se em e estende os resultados recentes de Caroccia, Focardi e Van Goethem [17], adaptando-os a um ambiente onde a invariância por translação não é assumida a priori.