The size of $2$-Selmer groups for the $\fracπ{3}$-congruent number problem

Sintesi Tecnica: La dimensione dei gruppi 2-Selmer per il problema dei numeri congruenti $\pi/3$

Enunciato del Problema
Questo articolo investiga il rango medio del gruppo 2-Selmer associato alle curve ellittiche legate al problema dei numeri congruenti $\pi/3$. Un intero positivo $n$ è un numero $\theta$-congruente se rappresenta l'area di un triangolo razionale con un angolo $\theta$. Nello specifico, gli autori si concentrano sul caso $\theta = \pi/3$, dove la curva ellittica associata è definita come:
$$E_{n, \pi/3}: y^2 = x(x + 3n)(x - n)$$
L'oggetto centrale di studio è il rango 2-Selmer, indicato con $s(n)$, dove la dimensione del gruppo 2-Selmer è $2^{2+s(n)}$. Gli autori mirano a determinare il comportamento asintotico del valore medio di $2^{s(n)}$ su specifiche famiglie di interi privi di quadrati.

Metodologia
Gli autori adottano la strategia pionieristica di Heath-Brown [H93] per le curve ellittiche congruenti ($y^2 = x^3 - n^2x$), adattandola alla specifica struttura aritmetica di $E_{n, \pi/3}$. La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi:

1. Descesa 2 e Sistemi Omogenei:
   Utilizzando il metodo della discesa 2, gli autori mappano il quoziente $E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})/2E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})$ in un prodotto di campi locali. Stabiliscono una biiezione tra il gruppo 2-Selmer e l'insieme di sistemi di equazioni omogenee risolvibili su $\mathbb{Q}$. Nello specifico, derivano un sistema di equazioni che coinvolge quattro interi privi di quadrati e mutualmente coprimi $n_1, n_2, n_3, n_4$ (dove $n = n_1 n_2 n_3 n_4$):
   $$n_1 X^2 + 3n_4 W^2 = n_2 Y^2$$
   $$n_1 X^2 - n_4 W^2 = n_3 Z^2$$
   La dimensione del gruppo 2-Selmer, $2^{s(n)}$, corrisponde al numero di tali sistemi risolvibili in $\mathbb{R}$ e in tutte le $\mathbb{Q}_p$.

2. Condizioni Locali e Vincoli:
   Gli autori analizzano rigorosamente le condizioni di risolvibilità locale nei primi che dividono $6n$. Viene imposto un vincolo tecnico cruciale: lo studio è limitato agli interi privi di quadrati $n$ tali che $n \equiv 5, 13 \pmod{24}$ e ogni divisore primo $p$ di $n$ soddisfa $p \equiv 1 \pmod 4$. Sotto queste condizioni, i gruppi locali si comportano in modo controllato, permettendo alla dimensione del gruppo Selmer globale di essere espressa come una somma su fattorizzazioni di $n$ che coinvolgono simboli di Jacobi.

3. Media e Somme di Caratteri:
   Per calcolare il valore medio, gli autori sommano l'espressione per $2^{s(n)}$ sull'insieme $S(X, h) = \{1 \le n \le X : n \equiv h \pmod{24}, n \text{ privo di quadrati}, p|n \implies p \equiv 1 \pmod 4\}$.

   • Scompongono la somma sulle 16 variabili $n_{ij}$ derivanti dalla fattorizzazione di $n_1, \dots, n_4$.
   • Impiegano la tecnica di Heath-Brown delle "variabili collegate" per limitare le somme di caratteri. Le variabili sono considerate "collegate" se compaiono insieme in un simbolo di Jacobi.
   • Utilizzando i limiti per le somme di caratteri (specificamente il Lemma 3.1 e il Lemma 3.3 da [H93] adattati al modulo 24), dimostrano che i contributi provenienti da configurazioni con molte variabili "grandi" sono trascurabili.
   • Il termine principale deriva da specifiche configurazioni di indici (9 casi eccezionali identificati nel Lemma 4.1) dove le variabili si disaccoppiano sufficientemente per consentire una valutazione esplicita.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema Principale (Teorema 1.2): Per $h = 5$ e $h = 13$, gli autori dimostrano la seguente formula asintotica per la somma di $2^{s(n)}$:
  $$\sum_{n \in S(X,h)} 2^{s(n)} = 9 \# S(X, h) + O\left(X (\log X)^{-5/8} (\log \log X)^8\right)$$
  Questo risultato stabilisce che la dimensione media del gruppo 2-Selmer rilassato è esattamente 9 volte il numero di interi nell'insieme.

• Densità dei Rangi Selmer:
  Combinando il teorema principale con i risultati sulla parità di Wei-Guo [WG2022], gli autori derivano risultati di densità incondizionati:

  • Caso $n \equiv 5 \pmod{24}$: Poiché $s(n)$ è pari, la densità di $s(n) = 0$ o $s(n) = 2$ è almeno $7/16$.
  • Caso $n \equiv 13 \pmod{24}$: Poiché $s(n)$ è dispari, la densità di $s(n) = 1$ o $s(n) = 3$ è almeno $1/3$.

• Implicazioni per il Rango di Mordell-Weil:
  Utilizzando la disuguaglianza $r(n) \le s(n)$, gli autori forniscono limiti superiori per il rango medio di Mordell-Weil $r(n)$ in queste famiglie, coerentemente con i limiti derivati per $s(n)$.

Significatività e Rivendicazioni
L'articolo sostiene che i suoi risultati forniscono prove incondizionate a supporto della congettura di Yoshida sui numeri congruenti $\pi/3$. Nello specifico, le densità derivate suggeriscono che una proporzione positiva di interi nelle famiglie specificate possiede bassi rangi Selmer, il che correla con l'esistenza di punti razionali sulle curve.

Gli autori evidenziano una deviazione significativa dalle euristiche generali di Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains (BKLPR). Mentre BKLPR prevede una distribuzione specifica basata sulla teoria delle matrici casuali, la costante 9 nel teorema principale riflette una "struttura rigida" originante dalla 2-isogenia della curva e dalle specifiche condizioni locali ai primi che dividono 6. Questa rigidità causa una differenza nella distribuzione dei rangi 2-Selmer in questa famiglia rispetto alle generali predizioni delle matrici casuali.

Gli autori notano esplicitamente che la loro tecnica è attualmente limitata agli interi dove tutti i fattori primi sono congruenti a $1 \pmod 4$. Estendere questi risultati all'intero insieme degli interi privi di quadrati o al problema dei numeri congruenti $2\pi/3$ richiederebbe nuovi metodi, poiché le difficoltà tecniche in quei casi sono sostanziali. L'articolo non pretende di risolvere la piena congettura dei numeri $\pi/3$, ma fornisce una formula asintotica fondamentale per una specifica e ben strutturata sottofamiglia.