The size of $2$-Selmer groups for the $\fracπ{3}$-congruent number problem

Resumo Técnico: O Tamanho dos Grupos 2-Selmer para o Problema dos Números $\pi/3$-congruentes

Enunciado do Problema
Este artigo investiga o posto médio do grupo 2-Selmer associado às curvas elípticas ligadas ao problema dos números $\pi/3$-congruentes. Um número inteiro positivo $n$ é um número $\theta$-congruente se ele representa a área de um triângulo racional com um ângulo $\theta$. Especificamente, os autores focam no caso $\theta = \pi/3$, onde a curva elíptica associada é definida como:
$$E_{n, \pi/3}: y^2 = x(x + 3n)(x - n)$$
O objeto central de estudo é o posto 2-Selmer, denotado por $s(n)$, onde o tamanho do grupo 2-Selmer é $2^{2+s(n)}$. Os autores visam determinar o comportamento assintótico do valor médio de $2^{s(n)}$ sobre famílias específicas de inteiros livres de quadrados $n$.

Metodologia
Os autores adotam a estratégia pioneira de Heath-Brown [H93] para curvas congruentes ($y^2 = x^3 - n^2x$), adaptando-a para a estrutura aritmética específica de $E_{n, \pi/3}$. A metodologia procede através das seguintes etapas:

1. Descida 2 e Sistemas Homogêneos:
   Usando o método de descida 2, os autores mapeiam o quociente $E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})/2E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})$ em um produto de corpos locais. Eles estabelecem uma bijeção entre o grupo 2-Selmer e o conjunto de sistemas de equações homogêneas solucionáveis sobre $\mathbb{Q}$. Especificamente, eles derivam um sistema de equações envolvendo quatro inteiros livres de quadrados e coprimos $n_1, n_2, n_3, n_4$ (onde $n = n_1 n_2 n_3 n_4$):
   $$n_1 X^2 + 3n_4 W^2 = n_2 Y^2$$
   $$n_1 X^2 - n_4 W^2 = n_3 Z^2$$
   O tamanho do grupo 2-Selmer, $2^{s(n)}$, corresponde ao número de tais sistemas solucionáveis em $\mathbb{R}$ e em todas as $\mathbb{Q}_p$.

2. Condições Locais e Restrições:
   Os autores analisam rigorosamente as condições de solucionabilidade local nos primos que dividem $6n$. Uma restrição técnica crucial é imposta: o estudo é restrito a inteiros livres de quadrados $n$ tais que $n \equiv 5, 13 \pmod{24}$ e cada divisor primo $p$ de $n$ satisfaz $p \equiv 1 \pmod 4$. Sob estas condições, os grupos locais comportam-se de maneira controlada, permitindo que o tamanho do grupo Selmer global seja expresso como uma soma sobre fatorações de $n$ envolvendo símbolos de Jacobi.

3. Média e Somas de Caracteres:
   Para computar o valor médio, os autores somam a expressão para $2^{s(n)}$ sobre o conjunto $S(X, h) = \{1 \le n \le X : n \equiv h \pmod{24}, n \text{ livre de quadrados}, p|n \implies p \equiv 1 \pmod 4\}$.

   • Eles decompõem a soma sobre as 16 variáveis $n_{ij}$ decorrentes da fatoração de $n_1, \dots, n_4$.
   • Eles empregam a técnica de "variáveis vinculadas" de Heath-Brown para limitar somas de caracteres. As variáveis são consideradas "vinculadas" se aparecem juntas em um símbolo de Jacobi.
   • Usando limites para somas de caracteres (especificamente o Lema 3.1 e o Lema 3.3 de [H93] adaptados ao módulo 24), eles mostram que as contribuições de configurações com muitas variáveis "grandes" são negligenciáveis.
   • O termo principal surge de configurações específicas de índices (9 casos excepcionais identificados no Lema 4.1) onde as variáveis se desacoplam suficientemente para permitir avaliação explícita.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema Principal (Teorema 1.2): Para $h = 5$ e $h = 13$, os autores provam a seguinte fórmula assintótica para a soma de $2^{s(n)}$:
  $$\sum_{n \in S(X,h)} 2^{s(n)} = 9 \# S(X, h) + O\left(X (\log X)^{-5/8} (\log \log X)^8\right)$$
  Este resultado estabelece que o tamanho médio do grupo 2-Selmer relaxado é exatamente 9 vezes o número de inteiros no conjunto.

• Densidade de Postos Selmer:
  Combinando o teorema principal com resultados de paridade de Wei-Guo [WG2022], os autores derivam resultados incondicionais de densidade:

  • Caso $n \equiv 5 \pmod{24}$: Como $s(n)$ é par, a densidade de $s(n) = 0$ ou $s(n) = 2$ é pelo menos $7/16$.
  • Caso $n \equiv 13 \pmod{24}$: Como $s(n)$ é ímpar, a densidade de $s(n) = 1$ ou $s(n) = 3$ é pelo menos $1/3$.

• Implicações para o Posto de Mordell-Weil:
  Usando a desigualdade $r(n) \le s(n)$, os autores fornecem limites superiores para o posto médio de Mordell-Weil $r(n)$ nestas famílias, consistentes com os limites derivados para $s(n)$.

Significância e Alegações
O artigo afirma que seus resultados fornecem evidência incondicional apoiando a conjectura de Yoshida sobre números $\pi/3$-congruentes. Especificamente, as densidades derivadas sugerem que uma proporção positiva de inteiros nas famílias especificadas possui baixos postos Selmer, o que se correlaciona com a existência de pontos racionais nas curvas.

Os autores destacam um desvio significativo das heurísticas gerais de Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains (BKLPR). Enquanto BKLPR prevê uma distribuição específica baseada na teoria de matrizes aleatórias, a constante 9 no teorema principal reflete uma "estrutura rígida" originária da 2-isogenia da curva e das condições locais específicas nos primos que dividem 6. Esta rigidez faz com que a distribuição dos postos 2-Selmer nesta família difira das previsões gerais de matrizes aleatórias.

Os autores observam explicitamente que sua técnica é atualmente limitada a inteiros onde todos os fatores primos são congruentes a $1 \pmod 4$. Estender estes resultados para o conjunto completo de inteiros livres de quadrados ou para o problema dos números $2\pi/3$-congruentes exigiria novos métodos, pois as dificuldades técnicas nesses casos são substanciais. O artigo não pretende resolver a conjectura completa dos números $\pi/3$-congruentes, mas fornece uma fórmula assintótica fundamental para uma subfamília específica e bem comportada.