The size of $2$-Selmer groups for the $\fracπ{3}$-congruent number problem

Résumé Technique : La taille des groupes de 2-Selmer pour le problème des nombres $\pi/3$-congrus

Énoncé du Problème
Cet article étudie le rang moyen du groupe de 2-Selmer associé aux courbes elliptiques liées au problème des nombres $\pi/3$-congrus. Un entier positif $n$ est un nombre $\theta$-congru de $\theta$ s'il représente l'aire d'un triangle rationnel ayant un angle $\theta$. Spécifiquement, les auteurs se concentrent sur le cas $\theta = \pi/3$, où la courbe elliptique associée est définie par :
$$E_{n, \pi/3}: y^2 = x(x + 3n)(x - n)$$
L'objet central de l'étude est le rang de 2-Selmer, noté $s(n)$, où la taille du groupe de 2-Selmer est $2^{2+s(n)}$. Les auteurs visent à déterminer le comportement asymptotique de la valeur moyenne de $2^{s(n)}$ sur des familles spécifiques d'entiers sans carré de $n$.

Méthodologie
Les auteurs adoptent la stratégie initiée par Heath-Brown [H93] pour les courbes elliptiques congruentes ($y^2 = x^3 - n^2x$), en l'adaptant à la structure arithmétique spécifique de $E_{n, \pi/3}$. La méthodologie procède par les étapes suivantes :

1. Descente de 2 et systèmes homogènes :
   En utilisant la méthode de la descente de 2, les auteurs projettent le quotient $E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})/2E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})$ dans un produit de corps locaux. Ils établissent une bijection entre le groupe de 2-Selmer et l'ensemble des systèmes d'équations homogènes solubles sur $\mathbb{Q}$. Plus précisément, ils dérivent un système d'équations impliquant quatre entiers sans carré et premiers entre eux $n_1, n_2, n_3, n_4$ (où $n = n_1 n_2 n_3 n_4$) :
   $$n_1 X^2 + 3n_4 W^2 = n_2 Y^2$$
   $$n_1 X^2 - n_4 W^2 = n_3 Z^2$$
   La taille du groupe de 2-Selmer, $2^{s(n)}$, correspond au nombre de tels systèmes solubles dans $\mathbb{R}$ et dans toutes les $\mathbb{Q}_p$.

2. Conditions Locales et Contraintes :
   Les auteurs analysent rigoureusement les conditions de solubilité locale aux nombres premiers divisant $6n$. Une contrainte technique cruciale est imposée : l'étude est restreinte aux entiers sans carré $n$ tels que $n \equiv 5, 13 \pmod{24}$ et chaque diviseur premier $p$ de $n$ satisfait $p \equiv 1 \pmod 4$. Sous ces conditions, les groupes locaux se comportent de manière contrôlée, permettant d'exprimer la taille globale du groupe de Selmer comme une somme sur les factorisations de $n$ impliquant des symboles de Jacobi.

3. Moyennage et Sommes de Caractères :
   Pour calculer la valeur moyenne, les auteurs somment l'expression de $2^{s(n)}$ sur l'ensemble $S(X, h) = \{1 \le n \le X : n \equiv h \pmod{24}, n \text{ sans carré}, p|n \implies p \equiv 1 \pmod 4\}$.

• Ils décomposent la somme sur les 16 variables $n_{ij}$ issues de la factorisation de $n_1, \dots, n_4$.
• Ils emploient la technique de Heath-Brown des « variables liées » pour borner les sommes de caractères. Les variables sont considérées comme « liées » si elles apparaissent ensemble dans un symbole de Jacobi.
• En utilisant des bornes pour les sommes de caractères (spécifiquement le Lemme 3.1 et le Lemme 3.3 de [H93] adaptés au modulo 24), ils montrent que les contributions des configurations avec de nombreuses variables « grandes » sont négligeables.
• Le terme principal provient de configurations spécifiques d'indices (9 cas exceptionnels identifiés dans le Lemme 4.1) où les variables se découplent suffisamment pour permettre une évaluation explicite.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème Principal (Théorème 1.2) : Pour $h = 5$ et $h = 13$, les auteurs prouvent la formule asymptotique suivante pour la somme de $2^{s(n)}$ :
  $$\sum_{n \in S(X,h)} 2^{s(n)} = 9 \# S(X, h) + O\left(X (\log X)^{-5/8} (\log \log X)^8\right)$$
  Ce résultat établit que la taille moyenne du groupe de 2-Selmer relaxé est exactement 9 fois le nombre d'entiers de l'ensemble.

• Densité des Rangs de Selmer :
  En combinant le théorème principal avec les résultats de parité de Wei-Guo [WG2022], les auteurs dérivent des résultats de densité inconditionnels :

  • Cas $n \equiv 5 \pmod{24}$ : Puisque $s(n)$ est pair, la densité de $s(n) = 0$ ou $s(n) = 2$ est au moins de $7/16$.
  • Cas $n \equiv 13 \pmod{24}$ : Puisque $s(n)$ est impair, la densité de $s(n) = 1$ ou $s(n) = 3$ est au moins de $1/3$.

• Implications pour le Rang de Mordell-Weil :
  En utilisant l'inégalité $r(n) \le s(n)$, les auteurs fournissent des bornes supérieures pour le rang moyen de Mordell-Weil $r(n)$ dans ces familles, cohérentes avec les bornes dérivées pour $s(n)$.

Signification et Revendications
L'article affirme que ses résultats fournissent une preuve inconditionnelle soutenant la conjecture de Yoshida concernant les nombres $\pi/3$-congrus. Plus précisément, les densités dérivées suggèrent qu'une proportion positive d'entiers dans les familles spécifiées possède de faibles rangs de Selmer, ce qui est corrélé à l'existence de points rationnels sur les courbes.

Les auteurs soulignent un écart significatif par rapport aux heuristiques générales de Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains (BKLPR). Alors que BKLPR prédit une distribution spécifique basée sur la théorie des matrices aléatoires, la constante 9 dans le théorème principal reflète une « structure rigide » provenant de la 2-isogénie de la courbe et des conditions locales spécifiques aux nombres premiers divisant 6. Cette rigidité fait que la distribution des rangs de 2-Selmer dans cette famille diffère des prédictions générales des matrices aléatoires.

Les auteurs notent explicitement que leur technique est actuellement limitée aux entiers dont tous les facteurs premiers sont congrus à $1 \pmod 4$. Étendre ces résultats à l'ensemble des entiers sans carré ou au problème des nombres $2\pi/3$-congrus nécessiterait de nouvelles méthodes, car les difficultés techniques dans ces cas sont substantielles. L'article ne prétend pas résoudre la pleine conjecture des nombres $\pi/3$-congrus, mais fournit une formule asymptotique fondamentale pour une sous-famille spécifique et bien comportée.