The size of $2$-Selmer groups for the $\fracπ{3}$-congruent number problem

Technische Samenvatting: De grootte van 2-Selmergroepen voor het $\pi/3$-congruente getalprobleem

Probleemstelling
Dit artikel onderzoekt de gemiddelde rang van de 2-Selmergroep geassocieerd met de elliptische curven verbonden aan het $\pi/3$-congruente getalprobleem. Een positief geheel getal $n$ is een $\theta$-congruent getal als het de oppervlakte representeert van een rationale driehoek met een hoek $\theta$. Specifiek richten de auteurs zich op het geval $\theta = \pi/3$, waarbij de bijbehorende elliptische curve gedefinieerd wordt als:
$$E_{n, \pi/3}: y^2 = x(x + 3n)(x - n)$$
Het centrale object van studie is de 2-Selmerrang, aangeduid als $s(n)$, waarbij de grootte van de 2-Selmergroep $2^{2+s(n)}$ is. De auteurs beogen het asymptotische gedrag van de gemiddelde waarde van $2^{s(n)}$ over specifieke families van vierkantevrije gehele getallen $n$ te bepalen.

Methodologie
De auteurs hanteren de strategie die door Heath-Brown [H93] is gepionierd voor concurrente elliptische curven ($y^2 = x^3 - n^2x$), en passen deze aan de specifieke arithmetische structuur van $E_{n, \pi/3}$ aan. De methodologie verloopt via de volgende stappen:

1. 2-Descent en Homogene Systemen:
   Met behulp van de 2-descent methode brengen de auteurs de quotient $E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})/2E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})$ in kaart naar een product van lokale velden. Zij stellen een bijectie vast tussen de 2-Selmergroep en de verzameling oplosbare systemen van homogene vergelijkingen over $\mathbb{Q}$. Specifiek leiden zij een systeem van vergelijkingen af betrokken bij vier onderling relatief priemvoudige vierkantevrije gehele getallen $n_1, n_2, n_3, n_4$ (waarbij $n = n_1 n_2 n_3 n_4$):
   $$n_1 X^2 + 3n_4 W^2 = n_2 Y^2$$
   $$n_1 X^2 - n_4 W^2 = n_3 Z^2$$
   De grootte van de 2-Selmergroep, $2^{s(n)}$, komt overeen met het aantal van dergelijke systemen dat oplosbaar is in $\mathbb{R}$ en alle $\mathbb{Q}_p$.

2. Lokale Condities en Beperkingen:
   De auteurs analyseren rigoureus de lokale oplosbaarheidscondities bij priemgetallen die $6n$ delen. Een cruciale technische beperking wordt opgelegd: de studie is beperkt tot vierkantevrije gehele getallen $n$ waarvoor geldt dat $n \equiv 5, 13 \pmod{24}$ en elke priemfactor $p$ van $n$ voldoet aan $p \equiv 1 \pmod 4$. Onder deze condities gedragen de lokale groepen zich op een gecontroleerde wijze, waardoor de globale Selmergroepgrootte uitgedrukt kan worden als een som over factorisaties van $n$ die Jacobi-symbolen bevatten.

3. Gemiddelden en Karakterreeksen:
   Om de gemiddelde grootte te berekenen, sommeren de auteurs de uitdrukking voor $2^{s(n)}$ over de verzameling $S(X, h) = \{1 \le n \le X : n \equiv h \pmod{24}, n \text{ vierkantevrij}, p|n \implies p \equiv 1 \pmod 4\}$.

• Zij decomponeren de som over de 16 variabelen $n_{ij}$ die voortvloeien uit de factorisatie van $n_1, \dots, n_4$.
• Zij maken gebruik van de techniek van Heath-Brown van "gekoppelde variabelen" om karakterreeksen te begrenzen. Variabelen worden als "gekoppeld" beschouwd als zij samen voorkomen in een Jacobi-symbool.
• Door gebruik te maken van grenzen voor karakterreeksen (specifiek Lemma 3.1 en Lemma 3.3 uit [H93] aangepast aan modulus 24), tonen zij aan dat de bijdragen van configuraties met veel "grote" variabelen verwaarloosbaar zijn.
• De hoofdbetrag komt voort uit specifieke configuraties van indices (9 uitzonderlijke gevallen geïdentificeerd in Lemma 4.1) waar de variabelen voldoende ontkoppelen om een expliciete evaluatie mogelijk te maken.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Hoofdtheorema (Theorema 1.2): Voor $h = 5$ en $h = 13$ bewijzen de auteurs de volgende asymptotische formule voor de som van $2^{s(n)}$:
  $$\sum_{n \in S(X,h)} 2^{s(n)} = 9 \# S(X, h) + O\left(X (\log X)^{-5/8} (\log \log X)^8\right)$$
  Dit resultaat vestigt dat de gemiddelde grootte van de gerelaxeerde 2-Selmergroep exact 9 keer het aantal gehele getallen in de verzameling is.

• Dichtheid van Selmerrangen:
  Door de hoofdtheorema te combineren met pariteitresultaten van Wei-Guo [WG2022], leiden de auteurs onvoorwaardelijke dichtheidsresultaten af:

  • Geval $n \equiv 5 \pmod{24}$: Omdat $s(n)$ even is, is de dichtheid van $s(n) = 0$ of $s(n) = 2$ ten minste $7/16$.
  • Geval $n \equiv 13 \pmod{24}$: Omdat $s(n)$ oneven is, is de dichtheid van $s(n) = 1$ of $s(n) = 3$ ten minste $1/3$.

• Implicaties voor de Mordell-Weil Rang:
  Gebruikmakend van de ongelijkheid $r(n) \le s(n)$, bieden de auteurs bovengrens-schattingen voor de gemiddelde Mordell-Weil rang $r(n)$ in deze families, consistent met de grenzen afgeleid voor $s(n)$.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert dat de resultaten onvoorwaardelijk bewijs leveren ter ondersteuning van de conjectuur van Yoshida betreffende $\pi/3$-congruente getallen. Specifiek suggereren de afgeleide dichtheden dat een positief deel van de gehele getallen in de gespecificeerde families lage Selmerrangen hebben, wat correleert met de existentie van rationale punten op de curven.

De auteurs benadrukken een significante afwijking van de algemene heuristieken van Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains (BKLPR). Terwijl BKLPR een specifieke distributie voorspelt op basis van willekeurige matrixtheorie, reflecteert de constante 9 in het hoofdtheorema een "rigide structuur" die voortkomt uit de 2-isogenie van de curve en de specifieke lokale condities bij priemgetallen die 6 delen. Deze rigiditeit zorgt ervoor dat de distributie van 2-Selmerrangen in deze familie verschilt van de algemene willekeurige matrixvoorspellingen.

De auteurs merken expliciet op dat hun techniek momenteel beperkt is tot gehele getallen waarbij alle priemfactoren congruent zijn aan $1 \pmod 4$. Het uitbreiden van deze resultaten naar de volledige verzameling vierkantevrije gehele getallen of naar het $2\pi/3$-congruente getalprobleem zou nieuwe methoden vereisen, aangezien de technische moeilijkheden in die gevallen aanzienlijk zijn. Het artikel claimt niet het volledige $\pi/3$-congruente getalprobleem op te lossen, maar biedt een fundamentele asymptotische formule voor een specifieke, goed gedefinieerde subfamilie.