The size of $2$-Selmer groups for the $\fracπ{3}$-congruent number problem

Resumen Técnico: El tamaño de los grupos 2-Selmer para el problema de los números congruentes de $\pi/3$

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga el rango promedio del grupo 2-Selmer asociado a las curvas elípticas vinculadas al problema de los números congruentes de $\pi/3$. Un número entero positivo $n$ es un número $\theta$-congruente si representa el área de un triángulo racional con un ángulo $\theta$. Específicamente, los autores se centran en el caso $\theta = \pi/3$, donde la curva elíptica asociada está definida como:
$$E_{n, \pi/3}: y^2 = x(x + 3n)(x - n)$$
El objeto central de estudio es el rango 2-Selmer, denotado como $s(n)$, donde el tamaño del grupo 2-Selmer es $2^{2+s(n)}$. Los autores pretenden determinar el comportamiento asintótico del valor promedio de $2^{s(n)}$ sobre familias específicas de enteros libres de cuadrados.

Metodología
Los autores adoptan la estrategia pionera de Heath-Brown [H93] para curvas congruentes ($y^2 = x^3 - n^2x$), adaptándola a la estructura aritmética específica de $E_{n, \pi/3}$. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Descenso 2 y Sistemas Homogéneos:
   Utilizando el método de descenso 2, los autores mapean el cociente $E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})/2E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})$ en un producto de cuerpos locales. Establecen una bijección entre el grupo 2-Selmer y el conjunto de sistemas de ecuaciones homogéneas solubles sobre $\mathbb{Q}$. Específicamente, derivan un sistema de ecuaciones que involucra cuatro enteros libres de cuadrados coprimos $n_1, n_2, n_3, n_4$ (donde $n = n_1 n_2 n_3 n_4$):
   $$n_1 X^2 + 3n_4 W^2 = n_2 Y^2$$
   $$n_1 X^2 - n_4 W^2 = n_3 Z^2$$
   El tamaño del grupo 2-Selmer, $2^{s(n)}$, corresponde al número de tales sistemas solubles en $\mathbb{R}$ y en todas las $\mathbb{Q}_p$.

2. Condiciones Locales y Restricciones:
   Los autores analizan rigurosamente las condiciones de solubilidad local en los primos que dividen a $6n$. Se impone una restricción técnica crucial: el estudio se restringe a enteros libres de cuadrados $n$ tales que $n \equiv 5, 13 \pmod{24}$ y cada divisor primo $p$ de $n$ satisface $p \equiv 1 \pmod 4$. Bajo estas condiciones, los grupos locales se comportan de manera controlada, permitiendo que el tamaño del grupo Selmer global se exprese como una suma sobre factorizaciones de $n$ que involucran símbolos de Jacobi.

3. Promedio y Sumas de Caracteres:
   Para calcular el valor promedio, los autores suman la expresión para $2^{s(n)}$ sobre el conjunto $S(X, h) = \{1 \le n \le X : n \equiv h \pmod{24}, n \text{ libre de cuadrados}, p|n \implies p \equiv 1 \pmod 4\}$.

• Ellos descomponen la suma sobre las 16 variables $n_{ij}$ que surgen de la factorización de $n_1, \dots, n_4$.
• Emplean la técnica de Heath-Brown de "variables vinculadas" para acotar sumas de caracteres. Las variables se consideran "vinculadas" si aparecen juntas en un símbolo de Jacobi.
• Utilizando cotas para sumas de caracteres (específicamente el Lema 3.1 y el Lema 3.3 de [H93] adaptados al módulo 24), demuestran que las contribuciones de configuraciones con muchas variables "grandes" son despreciables.
• El término principal surge de configuraciones específicas de índices (9 casos excepcionales identificados en el Lema 4.1) donde las variables se desacoplan lo suficiente como para permitir una evaluación explícita.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema Principal (Teorema 1.2): Para $h = 5$ y $h = 13$, los autores demuestran la siguiente fórmula asintótica para la suma de $2^{s(n)}$:
  $$\sum_{n \in S(X,h)} 2^{s(n)} = 9 \# S(X, h) + O\left(X (\log X)^{-5/8} (\log \log X)^8\right)$$
  Este resultado establece que el tamaño promedio del grupo 2-Selmer relajado es exactamente 9 veces el número de enteros en el conjunto.

• Densidad de Rangos Selmer:
  Combinando el teorema principal con los resultados de paridad de Wei-Guo [WG2022], los autores derivan resultados de densidad incondicionales:

  • Caso $n \equiv 5 \pmod{24}$: Dado que $s(n)$ es par, la densidad de $s(n) = 0$ o $s(n) = 2$ es al menos $7/16$.
  • Caso $n \equiv 13 \pmod{24}$: Dado que $s(n)$ es impar, la densidad de $s(n) = 1$ o $s(n) = 3$ es al menos $1/3$.

• Implicaciones para el Rango de Mordell-Weil:
  Utilizando la desigualdad $r(n) \le s(n)$, los autores proporcionan límites superiores para el rango promedio de Mordell-Weil $r(n)$ en estas familias, consistentes con los límites derivados para $s(n)$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma que sus resultados proporcionan evidencia incondicional que respalda la conjetura de Yoshida respecto a los números congruentes de $\pi/3$. Específicamente, las densidades derivadas sugmiere que una proporción positiva de los enteros en las familias especificadas tienen rangos Selmer bajos, lo cual se correlaciona con la existencia de puntos racionales en las curvas.

Los autores destacan una desviación significativa de las heurísticas generales de Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains (BKLPR). Mientras que BKLPR predice una distribución específica basada en la teoría de matrices aleatorias, la constante 9 en el teorema principal refleja una "estructura rígida" originada por la 2-isogenia de la curva y las condiciones locales específicas en los primos que dividen a 6. Esta rigidez causa que la distribución de los rangos 2-Selmer en esta familia difiera de las predicciones generales de matrices aleatorias.

Los autores señalan explícitamente que su técnica está actualmente limitada a enteros donde todos los factores primos son congruentes a $1 \pmod 4$. Extender estos resultados al conjunto completo de enteros libres de cuadrados o al problema de los números congruentes de $2\pi/3$ requeriría nuevos métodos, ya que las dificultades técnicas en esos casos son sustanciales. El artículo no pretende resolver la conjetura completa de los números congruentes de $\pi/3$, sino que proporciona una fórmula asintótica fundacional para una subfamilia específica y bien comportada.