The size of $2$-Selmer groups for the $\fracπ{3}$-congruent number problem

技术摘要：$\pi/3$-同余数问题中 2-Selmer 群的大小

问题陈述
本文研究了与 $\pi/3$-同余数问题相关的椭圆曲线的 2-Selmer 群的平均秩。一个正整数 $n$ 若能表示为一个具有角度 $\theta$ 的有理三角形的面积，则称其为 $\theta$-同余数。具体而言，作者关注 $\theta = \pi/3$ 的情况，其关联的椭圆曲线定义为：
$$E_{n, \pi/3}: y^2 = x(x + 3n)(x - n)$$
研究的核心对象是 2-Selmer 秩，记作 $s(n)$，其中 2-Selmer 群的大小为 $2^{2+s(n)}$。作者旨在确定在特定平方自由整数 $n$ 的族群上 $2^{s(n)}$ 的平均值的渐近行为。

方法论
作者采用了由 Heath-Brown [H93] 开创的策略（针对同余椭圆曲线 $y^2 = x^3 - n^2x$），并将其应用于 $E_{n, \pi/3}$ 特有的算术结构。该方法通过以下步骤进行：

1. 2-下降与齐次系统：
   利用 2-下降法，作者将商群 $E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})/2E_{n, \pi/3}(\mathbb{Q})$ 映射到局部域的乘积中。他们建立了 2-Selmer 群与有理数上可解齐次方程组之间的双射。具体而言，他们推导出了一个涉及四个两两互素的平方自由整数 $n_1, n_2, n_3, n_4$（其中 $n = n_1 n_2 n_3 n_4$）的方程组：
   $$n_1 X^2 + 3n_4 W^2 = n_2 Y^2$$
   $$n_1 X^2 - n_4 W^2 = n_3 Z^2$$
   2-Selmer 群的大小 $2^{s(n)}$ 对应于此类方程组在 $\mathbb{R}$ 和所有 $\mathbb{Q}_p$ 上均有解的系统数量。

2. 局部条件与约束：
   作者严格分析了在整除 $6n$ 的素数处的局部可解性条件。研究施加了一个关键的技术约束：研究范围限制在满足 $n \equiv 5, 13 \pmod{24}$ 且 $n$ 的每个素因子 $p$ 均满足 $p \equiv 1 \pmod 4$ 的平方自由整数 $n$。在此条件下，局部群的表现受到控制，使得全局 Selmer 群的大小可以表示为涉及雅可比符号（Jacobi symbols）的因子分解之和。

3. 平均化与特征和：
   为了计算平均大小，作者对集合 $S(X, h) = \{1 \le n \le X : n \equiv h \pmod{24}, n \text{ 为平方自由整数}, p|n \implies p \equiv 1 \pmod 4\}$ 中的 $2^{s(n)}$ 进行求和。

   • 他们将对 $n_1, \dots, n_4$ 的因子分解产生的 16 个变量的求和进行分解。
   • 他们采用了 Heath-Brown 的“相关变量”（linked variables）技术来限制特征和。如果变量在雅可比符号中共同出现，则称这些变量是“相关的”。
   • 利用针对模 24 适配后的特征和界限（具体为 [H93] 中的引理 3.1 和引理 3.3），他们证明了包含许多“大”变量的配置所产生的贡献是微不足道的。
   • 主项来自于特定的指数配置（在引理 4.1 中识别出的 9 种异常情况），在这些情况下，变量能够充分解耦，从而允许显式求值。

主要贡献与结果

• 主定理 (Theorem 1.2)： 对于 $h = 5$ 和 $h = 13$，作者证明了 $2^{s(n)}$ 之和的如下渐近公式：
  $$\sum_{n \in S(X,h)} 2^{s(n)} = 9 \# S(X, h) + O\left(X (\log X)^{-5/8} (\log \log X)^8\right)$$
  这一结果表明，放宽后的 2-Selmer 群的平均大小恰好是该集合中整数个数的 9 倍。

• Selmer 秩的密度：
  通过结合主定理与 Wei-Guo [WG2022] 的奇偶性结果，作者推导出了无条件的密度结果：

  • 情况 $n \equiv 5 \pmod{24}$： 由于 $s(n)$ 为偶数，因此 $s(n) = 0$ 或 $s(n) = 2$ 的密度至少为 $7/16$。
  • 情况 $n \equiv 13 \pmod{24}$： 由于 $s(n)$ 为奇数，因此 $s(n) = 1$ 或 $s(n) = 3$ 的密度至少为 $1/3$。

• 对 Mordell-Weil 秩的意义：
  利用不等式 $r(n) \le s(n)$，作者为这些族群中的平均 Mordell-Weil 秩 $r(n)$ 提供了上界，该上界与 $s(n)$ 的界限一致。

意义与主张
本文声称其结果为 Yoshida 关于 $\pi/3$-同余数的猜想提供了无条件的证据支持。具体而言，推导出的密度表明，在指定的族群中，有一定比例的整数具有较低的 Selmer 秩，这与曲线上的有理点存在性相关联。

作者强调，其结果与 Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains (BKLPR) 的一般启发式理论存在显著偏离。虽然 BKLPR 基于随机矩阵理论预测了特定的分布，但主定理中的常数 9 反映了源自曲线 2-同源性以及整除 6 的素数处特定局部条件的“刚性结构”。这种刚性导致该族群中 2-Selmer 秩的分布不同于一般的随机矩阵预测。

作者明确指出，其技术目前仅限于所有素因子均同余于 $1 \pmod 4$ 的整数。将这些结果推广到全集平方自由整数或 $2\pi/3$-同余数问题需要新的方法，因为这些情况下的技术难度极大。本文并不声称解决了完整的 $\pi/3$-同余数猜想，而是为一类特定的、性质良好的子族群提供了基础性的渐近公式。