On the tangent degree and the degree of the tangent variety of a projective variety

Sintesi Tecnica: Sul Grado Tangenziale e sul Grado della Varietà Tangente di una Varietà Proiettiva

Enunciato del Problema
Il lavoro indaga due invarianti primari associati a una varietà proiettiva $X^n \subset \mathbb{P}^N$: il grado tangenziale $\tau(X)$ e il grado della varietà tangente $\deg(\text{Tan}(X))$.

• Il grado tangenziale $\tau(X)$ è definito come il numero di spazi tangenti a $X$ nei punti lisci che passano per un punto generico della varietà tangente $\text{Tan}(X)$. Se $\dim(\text{Tan}(X)) < 2n$, allora $\tau(X)$ è zero.
• Lo studio si concentra sulla relazione tra questi invarianti, in particolare nei casi in cui $N \ge 2n$ e dove la varietà tangente non coincide con la varietà secante ($\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$).
• Una motivazione centrale è la generalizzazione di fatti elementari riguardanti le curve piane (dove $\tau(X) \ge 2$ per $\deg(X) \ge 2$) a dimensioni superiori, affrontando specificamente la non esistenza di varietà con $\tau(X)=1$ nel caso $N=2n$ e la classificazione delle varietà dove $\tau(X)=2$.

Metodologia
Gli autori impiegano una sintesi di geometria proiettiva classica, geometria differenziale e tecniche di geometria algebrica moderna:

1. Luoghi Focali e Famiglie Sviluppiabili: Il lavoro utilizza la teoria dei fuochi per famiglie di spazi lineari. Analizza il differenziale del morfismo tautologico $q: TX \to \text{Tan}(X)$ per identificare i punti focali. Il concetto di varietà "sviluppabili" (dove lo spazio tangente è costante lungo certe sottovarietà) è centrale per l'analisi delle singolarità e dei conteggi dimensionali.
2. Seconda Forma Fondamentale: Gli autori fanno ampio uso della seconda forma fondamentale $|II_{x,X}|$ della varietà in un punto generico $x$. Relazionano il nucleo del differenziale della mappa di Gauss al luogo base della seconda forma fondamentale e all'esistenza di direzioni asintotiche.
3. Mappe di Scorza e Luoghi di Ingresso: Per varietà in $\mathbb{P}^{2n}$, la mappa di Scorza è utilizzata per stabilire la birazionalità tra la varietà e il suo spazio tangente generico quando $\tau(X)=2$. Le proprietà dei luoghi di ingresso (in particolare le varietà QEL con luoghi di ingresso quadratici) sono sfruttate per classificare le varietà lisce con $\tau(X)=2$.
4. Induzione e Proiezione: Per stabilire limiti inferiori per $\deg(\text{Tan}(X))$ quando $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$, gli autori usano l'induzione sulla codimensione, analizzando il comportamento dei gradi sotto proiezioni generiche da punti sulla varietà.
5. Classificazione tramite Sistemi Lineari: La classificazione delle superfici con $\tau(X) \ge 2$ coinvolge l'analisi del difetto di Gauss $\varrho(X)$ e la struttura del luogo singolare della varietà tangente, portando all'identificazione di strutture specifiche di rigate (varietà di Roth).

Contributi e Risultati Chiave

1. Il Grado Tangenziale in $\mathbb{P}^{2n}$

• Non esistenza di $\tau(X)=1$: Il lavoro dimostra che per una varietà irriducibile $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$, $\tau(X) \neq 1$. Se $\text{Tan}(X) = \mathbb{P}^{2n}$, allora $\tau(X) \ge 2$.
• Classificazione di $\tau(X)=2$:
  • Se $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$ è liscia e $\tau(X)=2$, allora $X$ è una varietà QEL di tipo $\delta=1$.
  • Dimensione Pari: Le uniche varietà lisce di dimensione pari con $\tau(X)=2$ sono le rigate normali razionali $S(1, \dots, 1, 2) \subset \mathbb{P}^{4m}$.
  • Dimensione Dispari: Le varietà lisce di dimensione dispari con $\tau(X)=2$ sono o rigate normali razionali o specifici fasci di Fano di dimensione dispari (ad esempio, trefold di del Pezzo prime e cinquefold di Mukai).
  • Casi Singolari: Gli autori costruiscono esempi singolari di dimensione e grado arbitrariamente grandi con $\tau(X)=2$, incluse proiezioni di varietà OADP (varietà con un punto doppio apparente) e varietà di Verra.

2. Limiti Inferiori per $\deg(\text{Tan}(X))$

• Il lavoro stabilisce un limite inferiore lineare per il grado della varietà tangente quando $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$.
• Teorema: Se $X^n \subset \mathbb{P}^N$ è non degenere e $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$, allora:
  $$\deg(\text{Tan}(X)) \ge 2(N - \dim(\text{Tan}(X)) + 1)$$
• Questo limite è dimostrato essere stretto. L'uguaglianza è raggiunta da rigate normali razionali lisce e da certe varietà singolari costruite come coni su di esse.
• Al contrario, se $\text{Tan}(X) = \text{Sec}(X)$, il limite per il grado è quadratico nella codimensione (riferimento a [6]).

3. Classificazione delle Superfici con $\tau(X) \ge 2$

• Per superfici irriducibili non degeneri $X^2 \subset \mathbb{P}^N$ con $N \ge 5$ e $\tau(X) \ge 2$, il lavoro fornisce una classificazione completa basata sul difetto di Gauss $\varrho(X)$:
  • Caso $\varrho(X)=2$: $N=5$, e $X$ è proiettivamente equivalente alla superficie di Veronese $\nu_2(\mathbb{P}^2)$. Qui $\tau(X)=2$.
  • Caso $\varrho(X)=3$: $X$ è contenuta in una rigata sviluppabile tridimensionale in piani $Y^3 \subset \mathbb{P}^N$. Il piano generico della rigata interseca $X$ in una curva di grado $b \ge 2$.
• Superfici Lisce Normali Linearmente: Se $X$ è liscia e normale linearmente, le uniche possibilità sono:
  1. La superficie di Veronese in $\mathbb{P}^5$ ($\tau=2$).
  2. Superfici di Roth: $X \subset S(L, Z) \subset \mathbb{P}^N$, dove $S(L, Z)$ è un cono su una rigata normale razionale liscia $Z$ con vertice una retta $L$. Queste superfici hanno grado $d = b(N-2) + 1$ e grado tangenziale $\tau(X) = b^2$ per qualche intero $b \ge 2$.

Significato e Affermazioni
Gli autori posizionano questo lavoro come un'unificazione di risultati dispersi nella teoria dei fuochi, delle varietà sviluppabili e dei difetti secanti.

• Unificazione: Il lavoro raccoglie e chiarisce la relazione tra il grado tangenziale, la seconda forma fondamentale e la geometria della varietà tangente, fornendo un quadro coerente per lo studio delle varietà dove la mappa tangente non è birazionale.
• Classificazione: Offre una classificazione definitiva per le varietà lisce con $\tau(X)=2$ in $\mathbb{P}^{2n}$ e per le superfici con $\tau(X) \ge 2$ in codimensioni superiori.
• Caratterizzazione Geometrica: I risultati forniscono una nuova caratterizzazione geometrica delle varietà di Roth (varietà lisce normali linearmente dove il divisore doppio di una proiezione generica non è ampio) specificamente per le superfici, collegandole alla condizione $\tau(X) \ge 2$ e $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$.
• Strettezza: Il lavoro dimostra che il limite inferiore lineare derivato per il grado della varietà tangente è ottimale, mettendolo in contrasto con il limite quadratico per le varietà secanti.

Gli autori riconoscono che, sebbene i risultati per $n=2$ siano completi, l'esistenza di varietà QEL lisce di tipo $\delta=1$ con $\tau(X)=2$ per $n \ge 3$ (in particolare dimensioni dispari $n=2m+1$ con $m \ge 3$) rimane una questione aperta, suggerendo che la classificazione nella Corollario 15 potrebbe non essere esaustiva per dimensioni superiori.