On the tangent degree and the degree of the tangent variety of a projective variety

Technische Samenvatting: Over de Tangentgraad en de Graad van de Tangentvariëteit van een Projectieve Variëteit

Probleemstelling
Het artikel onderzoekt twee primaire invarianten geassocieerd met een projectieve variëteit $X^n \subset \mathbb{P}^N$: de tangentgraad $\tau(X)$ en de graad van de tangentvariëteit $\deg(\text{Tan}(X))$.

• De tangentgraad $\tau(X)$ wordt gedefinieerd als het aantal raakruimten aan $X$ in gladde punten die door een algemeen punt van de tangentvariëteit $\text{Tan}(X)$ gaan. Als $\dim(\text{Tan}(X)) < 2n$, dan is $\tau(X)$ gelijk aan nul.
• De studie richt zich op de relatie tussen deze invarianten, met name in gevallen waar $N \ge 2n$ en waar de tangentvariëteit niet samenvalt met de secantvariëteit ($\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$).
• Een centrale motivatie is de generalisatie van elementaire feiten betreffende vlakke krommen (waarbij $\tau(X) \ge 2$ voor $\deg(X) \ge 2$) naar hogere dimensies, specifiek het adresseren van het niet-bestaan van variëteiten met $\tau(X)=1$ in het geval $N=2n$ en de classificatie van variëteiten waarvoor $\tau(X)=2$.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een synthese van klassieke projectieve meetkunde, differentiaalmeetkunde en moderne technieken uit de algebraïsche meetkunde:

1. Focale Loci en Ontwikkelbare Familie: Het artikel maakt gebruik van de theorie van brandpunten voor families van lineaire ruimten. Het analyseert de differentiaal van de tautologische morfisme $q: TX \to \text{Tan}(X)$ om focale punten te identificeren. Het concept van "ontwikkelbare" variëteiten (waarbij de raakruimte constant is langs bepaalde deelvariëteiten) is centraal in de analyse van singulariteiten en dimensietellingen.
2. Tweedevorm: De auteurs maken uitgebreid gebruik van de tweede fundamentele vorm $|II_{x,X}|$ van de variëteit in een algemeen punt $x$. Zij relateren de kern van de differentiaal van de Gauss-afbeelding aan het basislocus van de tweede fundamentele vorm en het bestaan van asymptotische richtingen.
3. Scorza-afbeeldingen en Entreloci: Voor variëteiten in $\mathbb{P}^{2n}$ wordt de Scorza-afbeelding gebruikt om birationaliteit tussen de variëteit en haar algemene raakruimte vast te stellen wanneer $\tau(X)=2$. De eigenschappen van entreloci (specifiek QEL-variëteiten met kwadratische entreloci) worden ingezet om gladde variëteiten met $\tau(X)=2$ te classificeren.
4. Inductie en Projectie: Om ondergrenzen voor $\deg(\text{Tan}(X))$ vast te stellen wanneer $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$, gebruiken de auteurs inductie op de codimensie, waarbij het gedrag van graden onder generieke projecties vanuit punten op de variëteit wordt geanalyseerd.
5. Classificatie via Lineaire Systemen: De classificatie van oppervlakken met $\tau(X) \ge 2$ houdt in dat de Gauss-defect $\varrho(X)$ en de structuur van het singuliere locus van de tangentvariëteit worden geanalyseerd, wat leidt tot de identificatie van specifieke scrollstructuren (Roth-variëteiten).

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. De Tangentgraad in $\mathbb{P}^{2n}$

• Niet-bestaan van $\tau(X)=1$: Het artikel bewijst dat voor een irreducibele variëteit $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$ geldt dat $\tau(X) \neq 1$. Als $\text{Tan}(X) = \mathbb{P}^{2n}$, dan is $\tau(X) \ge 2$.
• Classificatie van $\tau(X)=2$:
  • Als $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$ glad is en $\tau(X)=2$, dan is $X$ een QEL-variëteit van het type $\delta=1$.
  • Even Dimensie: De unieke gladde variëteiten met even dimensie met $\tau(X)=2$ zijn rationale normale scrolls $S(1, \dots, 1, 2) \subset \mathbb{P}^{4m}$.
  • Oneven Dimensie: Gladde variëteiten met oneven dimensie met $\tau(X)=2$ zijn óf rationale normale scrolls óf specifieke Fano-mannigfaltigheden met oneven dimensie (bijvoorbeeld priem del Pezzo-drievouden en Mukai-vijfvouden).
  • Singular Gevallen: De auteurs construeren singuliere voorbeelden van willekeurig grote dimensie en graad met $\tau(X)=2$, waaronder projecties van OADP-variëteiten (variëteiten met één schijnbaar dubbel punt) en Verra-variëteiten.

2. Ondergrenzen voor $\deg(\text{Tan}(X))$

• Het artikel stelt een lineaire ondergrens vast voor de graad van de tangentvariëteit wanneer $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$.
• Stelling: Als $X^n \subset \mathbb{P}^N$ niet-degeneraat is en $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$, dan geldt:
  $$\deg(\text{Tan}(X)) \ge 2(N - \dim(\text{Tan}(X)) + 1)$$
• Deze grens blijkt scherp te zijn. De gelijkheid wordt bereikt door gladde rationale normale scrolls en bepaalde singuliere variëteiten die als kegels daaroverheen zijn geconstrueerd.
• Daarentegen is, als $\text{Tan}(X) = \text{Sec}(X)$, de graadgrens kwadratisch in de codimensie (verwijzend naar [6]).

3. Classificatie van Oppervlakken met $\tau(X) \ge 2$

• Voor niet-degeneraat irreducibele oppervlakken $X^2 \subset \mathbb{P}^N$ met $N \ge 5$ en $\tau(X) \ge 2$, biedt het artikel een volledige classificatie gebaseerd op het Gauss-defect $\varrho(X)$:
  • Geval $\varrho(X)=2$: $N=5$, en $X$ is projectief equivalent met het Veronese-oppervlak $\nu_2(\mathbb{P}^2)$. Hier is $\tau(X)=2$.
  • Geval $\varrho(X)=3$: $X$ is opgesloten in een 3-dimensionale ontwikkelbare scroll in vlakken $Y^3 \subset \mathbb{P}^N$. Het algemene vlak van de scroll snijdt $X$ in een kromme van graad $b \ge 2$.
• Gladde Lineair Genormaliseerde Oppervlakken: Als $X$ glad en lineair genormaliseerd is, zijn de enige mogelijkheden:
  1. Het Veronese-oppervlak in $\mathbb{P}^5$ ($\tau=2$).
  2. Roth-oppervlakken: $X \subset S(L, Z) \subset \mathbb{P}^N$, waarbij $S(L, Z)$ een kegel is over een gladde rationale normale scroll $Z$ met een lijn $L$ als top. Deze oppervlakken hebben graad $d = b(N-2) + 1$ en tangentgraad $\tau(X) = b^2$ voor zekere gehele getallen $b \ge 2$.

Betekenis en Aanspraken
De auteurs positioneren dit werk als een unificatie van verspreide resultaten in de theorie van brandpunten, ontwikkelbare variëteiten en secantdefecten.

• Unificatie: Het artikel verzamelt en verduidelijkt de relatie tussen de tangentgraad, de tweede fundamentele vorm en de meetkunde van de tangentvariëteit, en biedt een coherent raamwerk voor het bestuderen van variëteiten waarbij de tangentafbeelding niet birationaal is.
• Classificatie: Het biedt een definitieve classificatie voor gladde variëteiten met $\tau(X)=2$ in $\mathbb{P}^{2n}$ en voor oppervlakken met $\tau(X) \ge 2$ in hogere codimensies.
• Geometrische Karakterisering: De resultaten bieden een nieuwe geometrische karakterisering van Roth-variëteiten (gladde lineair genormaliseerde variëteiten waarbij de dubbele divisor van een algemene projectie niet ample is), specifiek voor oppervlakken, en koppelen deze aan de voorwaarde $\tau(X) \ge 2$ en $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$.
• Scherpte: Het artikel demonstreert dat de afgeleide lineaire ondergrens voor de graad van de tangentvariëteit optimaal is, in contrast met de kwadratische grens voor secantvariëteiten.

De auteurs erkennen dat hoewel de resultaten voor $n=2$ compleet zijn, het bestaan van gladde QEL-mannigfaltigheden van het type $\delta=1$ met $\tau(X)=2$ voor $n \ge 3$ (specifiek oneven dimensies $n=2m+1$ met $m \ge 3$) een open vraag blijft, wat suggereert dat de classificatie in Corollarium 15 mogelijk niet exhaustief is voor hogere dimensies.