On the tangent degree and the degree of the tangent variety of a projective variety

Resumen Técnico: Sobre el Grado Tangente y el Grado de la Variedad Tangente de una Variedad Proyectiva

Enunciado del Problema
El artículo investiga dos invariantes primarios asociados a una variedad proyectiva $X^n \subset \mathbb{P}^N$: el grado tangente $\tau(X)$ y el grado de la variedad tangente $\deg(\text{Tan}(X))$.

• El grado tangente $\tau(X)$ se define como el número de espacios tangentes a $X$ en puntos lisos que pasan por un punto general de la variedad tangente $\text{Tan}(X)$. Si $\dim(\text{Tan}(X)) < 2n$, $\tau(X)$ es cero.
• El estudio se centra en la relación entre estos invariantes, particularmente en los casos donde $N \ge 2n$ y donde la variedad tangente no coincide con la variedad secante ($\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$).
• Una motivación central es la generalización de hechos elementales sobre curvas planas (donde $\tau(X) \ge 2$ para $\deg(X) \ge 2$) a dimensiones superiores, abordando específicamente la no existencia de variedades con $\tau(X)=1$ en el caso $N=2n$ y la clasificación de variedades donde $\tau(X)=2$.

Metodología
Los autores emplean una síntesis de geometría proyectiva clásica, geometría diferencial y técnicas de geometría algebraica moderna:

1. Loci Focales y Familias Desarrollables: El artículo utiliza la teoría de focos para familias de espacios lineales. Analiza el diferencial del morfismo tautológico $q: TX \to \text{Tan}(X)$ para identificar puntos focales. El concepto de variedades "desarrolables" (donde el espacio tangente es constante a lo largo de ciertas subvariedades) es central para el análisis de singularidades y conteos de dimensión.
2. Segunda Forma Fundamental: Los autores utilizan extensivamente la segunda forma fundamental $|II_{x,X}|$ de la variedad en un punto general $x$. Relacionan el núcleo del diferencial del mapa de Gauss con el lugar base de la segunda forma fundamental y la existencia de direcciones asintóticas.
3. Mapas de Scorza y Loci de Entrada: Para variedades en $\mathbb{P}^{2n}$, el mapa de Scorza se utiliza para establecer birracionalidad entre la variedad y su espacio tangente general cuando $\tau(X)=2$. Las propiedades de los loci de entrada (específicamente variedades QEL con loci de entrada cuadráticos) se aprovechan para clasificar variedades lisas con $\tau(X)=2$.
4. Inducción y Proyección: Para establecer cotas inferiores para $\deg(\text{Tan}(X))$ cuando $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$, los autores utilizan inducción sobre la codimensión, analizando el comportamiento de los grados bajo proyecciones genéricas desde puntos de la variedad.
5. Clasificación mediante Sistemas Lineales: La clasificación de superficies con $\tau(X) \ge 2$ implica analizar el defecto de Gauss $\varrho(X)$ y la estructura del lugar singular de la variedad tangente, lo que lleva a la identificación de estructuras específicas de replegamiento (variedades de Roth).

Contribuciones y Resultados Clave

1. El Grado Tangente en $\mathbb{P}^{2n}$

• No existencia de $\tau(X)=1$: El artículo demuestra que para una variedad irreducible $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$, $\tau(X) \neq 1$. Si $\text{Tan}(X) = \mathbb{P}^{2n}$, entonces $\tau(X) \ge 2$.
• Clasificación de $\tau(X)=2$:
  • Si $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$ es lisa y $\tau(X)=2$, entonces $X$ es una variedad QEL de tipo $\delta=1$.
  • Dimensión Par: Las únicas variedades lisas de dimensión par con $\tau(X)=2$ son replegamientos normales racionales $S(1, \dots, 1, 2) \subset \mathbb{P}^{4m}$.
  • Dimensión Impar: Las variedades lisas de dimensión impar con $\tau(X)=2$ son o bien replegamientos normales racionales o bien variedades de Fano de dimensión impar específicas (por ejemplo, tresfolds de del Pezzo primos y cinco-folds de Mukai).
  • Casos Singulares: Los autores construyen ejemplos singulares de dimensión y grado arbitrariamente grandes con $\tau(X)=2$, incluyendo proyecciones de variedades OADP (variedades con un punto doble aparente) y variedades de Verra.

2. Cotas Inferiores para $\deg(\text{Tan}(X))$

• El artículo establece una cota inferior lineal para el grado de la variedad tangente cuando $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$.
• Teorema: Si $X^n \subset \mathbb{P}^N$ es no degenerada y $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$, entonces:
  $$\deg(\text{Tan}(X)) \ge 2(N - \dim(\text{Tan}(X)) + 1)$$
• Se demuestra que esta cota es aguda. La igualdad se alcanza mediante replegamientos normales racionales lisos y ciertas variedades singulares construidas como conos sobre ellos.
• En contraste, si $\text{Tan}(X) = \text{Sec}(X)$, la cota de grado es cuadrática en la codimensión (haciendo referencia a [6]).

3. Clasificación de Superficies con $\tau(X) \ge 2$

• Para superficies irreducibles no degeneradas $X^2 \subset \mathbb{P}^N$ con $N \ge 5$ y $\tau(X) \ge 2$, el artículo proporciona una clasificación completa basada en el defecto de Gauss $\varrho(X)$:
  • Caso $\varrho(X)=2$: $N=5$, y $X$ es proyectivamente equivalente a la superficie de Veronese $\nu_2(\mathbb{P}^2)$. Aquí $\tau(X)=2$.
  • Caso $\varrho(X)=3$: $X$ está contenida en un replegamiento desarrollable tridimensional en planos $Y^3 \subset \mathbb{P}^N$. El plano general del replegamiento interseca a $X$ en una curva de grado $b \ge 2$.
• Superficies Lisas Normalizadas Linealmente: Si $X$ es lisa y normalizada linealmente, las únicas posibilidades son:
  1. La superficie de Veronese en $\mathbb{P}^5$ ($\tau=2$).
  2. Superficies de Roth: $X \subset S(L, Z) \subset \mathbb{P}^N$, donde $S(L, Z)$ es un cono sobre un replegamiento normal racional liso $Z$ con vértice una línea $L$. Estas superficies tienen grado $d = b(N-2) + 1$ y grado tangente $\tau(X) = b^2$ para algún entero $b \ge 2$.

Significado y Afirmaciones
Los autores posicionan este trabajo como una unificación de resultados dispersos en la teoría de focos, variedades desarrollables y defectos secantes.

• Unificación: El artículo recopila y clarifica la relación entre el grado tangente, la segunda forma fundamental y la geometría de la variedad tangente, proporcionando un marco coherente para estudiar variedades donde el mapa tangente no es birracional.
• Clasificación: Ofrece una clasificación definitiva para variedades lisas con $\tau(X)=2$ en $\mathbb{P}^{2n}$ y para superficies con $\tau(X) \ge 2$ en codimensiones superiores.
• Caracterización Geométrica: Los resultados proporcionan una nueva caracterización geométrica de las variedades de Roth (variedades lisas normalizadas linealmente donde el divisor doble de una proyección general no es amplio) específicamente para superficies, vinculándolas con la condición $\tau(X) \ge 2$ y $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$.
• Agudeza: El artículo demuestra que la cota inferior lineal derivada para el grado de la variedad tangente es óptima, contrastándola con la cota cuadrática para variedades secantes.

Los autores reconocen que, aunque los resultados para $n=2$ son completos, la existencia de variedades QEL lisas de tipo $\delta=1$ con $\tau(X)=2$ para $n \ge 3$ (específicamente dimensiones impares $n=2m+1$ con $m \ge 3$) sigue siendo una pregunta abierta, lo que sugiere que la clasificación en el Corolario 15 podría no ser exhaustiva para dimensiones superiores.