On the tangent degree and the degree of the tangent variety of a projective variety

技術的概要：射影多様体の接次数と接多様体の次数について

問題提起
本論文は、射影多様体 $X^n \subset \mathbb{P}^N$ に付随する 2 つの主要な不変量、すなわち接次数 $\tau(X)$ と接多様体の次数 $\deg(\text{Tan}(X))$ を調査する。

• 接次数 $\tau(X)$ は、接多様体 $\text{Tan}(X)$ の一般点を通る、滑らかな点における $X$ の接空間の個数として定義される。$\dim(\text{Tan}(X)) < 2n$ の場合、$\tau(X)$ は 0 となる。
• 本研究は、特に $N \ge 2n$ であり、かつ接多様体が接線多様体と一致しない（$\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$）場合における、これらの不変量間の関係に焦点を当てている。
• 中心的な動機は、平面曲線に関する初等的な事実（$\deg(X) \ge 2$ に対して $\tau(X) \ge 2$）を高次元へ一般化することであり、特に $N=2n$ の場合に $\tau(X)=1$ となる多様体の非存在性と、$\tau(X)=2$ となる多様体の分類に取り組むことである。

手法
著者らは、古典的射影幾何学、微分幾何学、および現代の代数幾何学の手法を統合して用いる：

1. 焦点軌跡と可展族：線形空間の族に対する焦点の理論を利用する。特異点の解析と次元の計数において、「可展」多様体（特定の部分多様体に沿って接空間が一定であるもの）の概念が中心的な役割を果たす。また、自明な射 $q: TX \to \text{Tan}(X)$ の微分を解析して焦点を特定する。
2. 第 2 基本形式：著者らは、一般点 $x$ における多様体の第 2 基本形式 $|II_{x,X}|$ を広範に用いる。ガウス写像の微分の核を、第 2 基本形式の基底軌跡および漸近方向の存在と関連付ける。
3. スコルツァ写像と進入軌跡：$\mathbb{P}^{2n}$ 内の多様体に対して、$\tau(X)=2$ の場合、スコルツァ写像を用いて多様体とその一般接空間の間の双有理性を確立する。進入軌跡（特に二次の進入軌跡を持つ QEL-多様体）の性質を活用し、$\tau(X)=2$ となる滑らかな多様体を分類する。
4. 帰納法と射影：$\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$ の場合の $\deg(\text{Tan}(X))$ の下限を確立するために、余次元に関する帰納法を用い、多様体上の点からの一般射影における次数の挙動を解析する。
5. 線形系による分類：$\tau(X) \ge 2$ となる曲面の分類には、ガウス欠損 $\varrho(X)$ と接多様体の特異軌跡の構造を解析することが含まれ、これにより特定のロール構造（Roth 多様体）の同定に至る。

主要な貢献と結果

1. $\mathbb{P}^{2n}$ における接次数

• $\tau(X)=1$ の非存在：本論文は、既約多様体 $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$ に対して $\tau(X) \neq 1$ であることを証明する。$\text{Tan}(X) = \mathbb{P}^{2n}$ ならば、$\tau(X) \ge 2$ である。
• $\tau(X)=2$ の分類：
  • $X^n \subset \mathbb{P}^{2n}$ が滑らかで $\tau(X)=2$ ならば、$X$ はタイプ $\delta=1$ の QEL-多様体である。
  • 偶数次元：$\tau(X)=2$ となる滑らかな偶数次元多様体は、$\mathbb{P}^{4m}$ 内の有理正規 scrolls $S(1, \dots, 1, 2)$ である。
  • 奇数次元：$\tau(X)=2$ となる滑らかな奇数次元多様体は、有理正規 scrolls または特定の奇数次元ファノ多様体（例えば、素なデル・ペッツォ 3 次元多様体やムカイ 5 次元多様体）のいずれかである。
  • 特異な場合：著者らは、$\tau(X)=2$ となる任意に大きな次元と次数を持つ特異な例を構成する。これには、OADP-多様体（1 つの apparent double point を持つ多様体）や Verra 多様体の射影が含まれる。

2. $\deg(\text{Tan}(X))$ の下限

• 本論文は、$\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$ の場合の接多様体の次数に対する線形下限を確立する。
• 定理：$X^n \subset \mathbb{P}^N$ が非退化であり、$\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$ ならば、次が成り立つ：
  $$\deg(\text{Tan}(X)) \ge 2(N - \dim(\text{Tan}(X)) + 1)$$
• この下限は鋭いことが示される。等号は、滑らかな有理正規 scrolls およびそれら上の円錐として構成された特定の特異多様体によって達成される。
• 対照的に、$\text{Tan}(X) = \text{Sec}(X)$ の場合、次数の上限は余次元に対して二次的である（[6] を参照）。

3. $\tau(X) \ge 2$ となる曲面の分類

• $N \ge 5$ かつ $\tau(X) \ge 2$ である非退化既約曲面 $X^2 \subset \mathbb{P}^N$ に対して、本論文はガウス欠損 $\varrho(X)$ に基づく完全な分類を提供する：
  • ケース $\varrho(X)=2$：$N=5$ であり、$X$ はヴェロネーゼ曲面 $\nu_2(\mathbb{P}^2)$ に射影同値である。ここで $\tau(X)=2$ である。
  • ケース $\varrho(X)=3$：$X$ は $\mathbb{P}^N$ 内の 3 次元可展 scrolls $Y^3$ に含まれる。scroll の一般平面は $X$ と次数 $b \ge 2$ の曲線で交わる。
• 滑らかな線形正規曲面：$X$ が滑らかで線形正規である場合、可能なものは以下の 2 つのみである：
  1. $\mathbb{P}^5$ 内のヴェロネーゼ曲面（$\tau=2$）。
  2. Roth 曲面：$X \subset S(L, Z) \subset \mathbb{P}^N$。ここで $S(L, Z)$ は、頂点が直線 $L$ である滑らかな有理正規 scroll $Z$ 上の円錐である。これらの曲面は次数 $d = b(N-2) + 1$ および接次数 $\tau(X) = b^2$ を持ち、ここで $b \ge 2$ はある整数である。

意義と主張
著者らは、この研究を焦点理論、可展多様体、および接線欠損の理論における散在する結果の統合として位置づけている。

• 統合：本論文は、接次数、第 2 基本形式、および接多様体の幾何学の間の関係を収集・明確化し、接写像が双有理でない多様体を研究するための一貫した枠組みを提供する。
• 分類：$\mathbb{P}^{2n}$ 内の $\tau(X)=2$ となる滑らかな多様体、および高余次元における $\tau(X) \ge 2$ となる曲面について、決定的な分類を提供する。
• 幾何学的特徴付け：結果は、Roth 多様体（一般射影の重付約が ample でない滑らかな線形正規多様体）の新しい幾何学的特徴付けを提供する。特に曲面に対して、これらを条件 $\tau(X) \ge 2$ および $\text{Tan}(X) \subsetneq \text{Sec}(X)$ と関連付ける。
• 鋭さ：本論文は、導出された接多様体の次数に対する線形下限が最適であることを示し、接線多様体に対する二次的限界と比較する。

著者らは、$n=2$ の場合の結果は完全であるが、$n \ge 3$（特に $m \ge 3$ である奇数次元 $n=2m+1$）におけるタイプ $\delta=1$ の滑らかな QEL-多様体で $\tau(X)=2$ となるものの存在は未解決の問題であり、補題 15 の分類が高次元に対して網羅的ではない可能性があることを認めている。